1.1. Кибер + физика

Глаза – датчик, голова – контроллер, руки и ноги – исполнители. У автомата та же схема, только из проводов и моторов.

Посмотри, как ты переходишь дорогу. Глаза видят, что загорелся зелёный. Голова решает: «Можно идти». Ноги делают шаг. А если из-за поворота вылетел самокат, глаза это замечают, голова передумывает, ноги останавливаются. Ты всё время смотришь на мир и что-то в нём меняешь.

Киберфизическая система (сокращённо КФС) – устройство или набор устройств, которые делают то же самое без человека: сами измеряют, что происходит вокруг, сами выбирают, как поступить, и сами действуют в настоящем, физическом мире. Слово составлено из двух половинок. «Физическая» – потому что система работает с настоящими вещами: теплом, светом, водой, колёсами. «Кибер» – от слова «кибернетика», науки об управлении и связи; откуда оно взялось, узнаешь в разделе 1.6.

У любой КФС есть три главные роли:

• датчик – «органы чувств» системы. Он замечает, что происходит в мире (свет, тепло, звук, движение, влажность), и превращает это в сигнал – изменение напряжения или число, которое может прочитать электроника;
• контроллер – маленький компьютер, «голова» системы. В нём записана прошивка – программа, которая говорит, что делать с показаниями датчиков. Контроллер сравнивает, считает и принимает решение;
• исполнитель – «руки» системы. Он меняет что-то в мире: мотор крутит колесо, клапан открывает воду, лампа загорается, динамик пищит.

Чем КФС отличается от простого автомата? Сравни два уличных фонаря. Первый включается каждый день в 17:00 по часам. В декабре в Новосибирске в это время уже темно, всё хорошо. А в июне он зажжётся при ярком солнце и будет гореть зря. Второй фонарь смотрит на небо через датчик освещённости и включается, когда стало темно, – в любой месяц, в грозу, в солнечное затмение. Первый работает вслепую по заранее заданному плану. Второй замечает, что происходит сейчас, и подстраивается под это. Второй – киберфизическая система, первый – нет.

1.2. Цепочка сигнала и замкнутый круг

Котёл нагрел комнату – термометр это заметил – контроллер выключил котёл. Остыло – всё сначала. Круг замыкается через сам дом.

От датчика до исполнителя сигнал проходит пять звеньев, одно за другим.

1. Датчик измеряет величину: температуру, освещённость, расстояние до препятствия.
2. Передача. Показание нужно доставить до контроллера: по проводу, по радио (Wi-Fi, Bluetooth), иногда звуком или светом. Датчик может стоять в теплице, а контроллер – в доме в двадцати метрах.
3. Обработка. Контроллер читает число и сравнивает его с правилом из прошивки: «влажность почвы меньше 30 %?», «до стены меньше 20 см?».
4. Управление. По итогам сравнения контроллер отправляет команду: «открыть клапан», «остановить моторы».
5. Исполнитель выполняет команду и меняет мир.

Сигналы в этой цепочке бывают двух сортов. Информационный сигнал рассказывает, что происходит: «в комнате 17 °C», «впереди препятствие». Он идёт от датчиков к контроллеру. Управляющий сигнал – это команда: «включить нагрев», «тормозить». Он идёт от контроллера к исполнителям. Если про сигнал можно сказать «это новость», он информационный. Если «это приказ» – управляющий.

Замкнутый круг. Исполнитель поменял мир – и датчик это заметил. Котёл нагрел воздух, термометр показал 21 °C, контроллер выключил котёл. Такой круг называют обратной связью: результат действия возвращается в систему и влияет на следующее решение. Круг крутится всё время, пока система включена. Контроллер опрашивает датчик снова и снова: десять раз в секунду или раз в минуту – как задумал инженер.

1.3. Порог: когда пора действовать

С одним порогом котёл дёргается без передышки. С двумя между ними появляется коридор, и котёл спокойно делает то, что делал.

Как контроллер понимает, что пора действовать? В простых системах он сравнивает показание датчика с заранее выбранным числом – порогом. Меньше порога – одно действие, больше – другое. Влажность почвы ниже 30 % – поливать, выше – не поливать.

С одним порогом бывает беда. Пусть котёл включается ниже 20 °C и выключается выше 20 °C. Температура в доме на месте не стоит: чуть поднялась – котёл выключился, чуть остыла – включился. Около двадцати градусов он будет щёлкать туда-сюда каждые несколько секунд и быстро сломается.

Посмотри, как поступаешь ты сам. Шапку ты надеваешь, когда замёрз, а снимаешь, когда стало жарко. Между «замёрз» и «жарко» ты её не трогаешь, иначе снимал бы и надевал на каждом шагу. С котлом делают так же: ставят два порога. Ниже 18 °C – включить, выше 22 °C – выключить, а между ними ничего не менять.

Тут есть хитрость. Пусть в доме 20 °C. Котёл сейчас может быть включён (дом греется после холода), а может быть выключен (дом остывает после жары). По одному термометру этого не узнать. Поэтому контроллер должен помнить, в каком он состоянии: «грею» или «не грею». Системы, которые помнят своё состояние, – тема глав 6 и 7.

1.4. Время реакции: мир не ждёт

Каждое звено тратит свою долю секунды. Складываем их – и узнаём, сколько метров машина проехала «вслепую».

Ни одно звено не срабатывает мгновенно. Датчик не смотрят каждое мгновение: его опрашивают через равные промежутки времени. Такой промежуток называют периодом опроса. Если датчик опрашивают 10 раз в секунду, период опроса $1 : 10 = 0{,}1$ с. Передача занимает время, обработка тоже, а тормозу или мотору нужно раскачаться.

Время от события до действия называют временем реакции. Оно равно сумме всех задержек по дороге:

$$t_{\text{реакции}} = t_{\text{ожидания опроса}} + t_{\text{передачи}} + t_{\text{обработки}} + t_{\text{исполнителя}}.$$

Самый неудачный случай – событие случилось сразу после опроса. Тогда система узнает о нём только на следующем опросе, через целый период. Кто отвечает за безопасность, считает по этому, худшему, варианту: если автоматика успевает в худшем случае, она успеет и в любом другом.

Пока система реагирует, машина едет. Путь равен скорости, умноженной на время:

$$s = v \cdot t,$$

где $s$ – путь (метры), $v$ – скорость (метры в секунду), $t$ – время (секунды). Скорость машины пишут в км/ч, а задержки – в секундах. Переводим: 1 км/ч – это 1000 м за 3600 с, то есть $1000 : 3600 = 1 : 3{,}6$ м/с. Отсюда правило: чтобы перевести км/ч в м/с, дели на 3,6. 36 км/ч = 10 м/с, 72 км/ч = 20 м/с.

1.5. КФС вокруг нас

Дом, перекрёсток, машина, спутник – размеры разные, схема одна.

Вот четыре системы, от дачи до орбиты.

Умный дом. На даче зимой в доме никто не живёт, но трубы не должны замёрзнуть. Термометр в комнате меряет температуру, контроллер держит её между порогами и включает котёл. Датчик протечки лежит на полу у стиральной машины: если на него попала вода, контроллер перекрывает кран на трубе и присылает хозяину сообщение на телефон. Тут уже есть и управление (кран), и связь (сообщение).

Светофор с кнопкой. Над дорогой к школе горит зелёный для машин, пока пешеход не нажмёт кнопку на столбе. Сигнал от кнопки идёт по кабелю в серый шкаф у перекрёстка, там стоит контроллер. Он не переключает свет сразу: сначала проверяет, достаточно ли долго машины ехали. Потом – жёлтый, потом красный для машин и зелёный для людей. На больших перекрёстках под асфальтом или на столбах ещё стоят датчики машин: светофор видит, с какой стороны скопилась очередь, и даёт ей зелёный подольше.

Автопилот машины. Камеры смотрят на разметку. Радар – прибор, который посылает радиоволну и ловит её отражение, – меряет расстояние до машины впереди. Бортовой компьютер решает, сколько повернуть руль и нужно ли тормозить. Исполнители – электромотор рулевого управления, тормоза, двигатель. Тут счёт идёт на доли секунды: на 72 км/ч машина за каждую десятую долю секунды проезжает 2 метра.

Космический аппарат. Спутнику нужно, чтобы солнечные панели смотрели на Солнце. Датчик Солнца показывает, откуда идёт свет. Бортовой компьютер считает, на сколько повернуть. Исполнители – моторы, которые поворачивают панели, и маховики – тяжёлые колёса внутри спутника: раскручиваешь маховик в одну сторону, спутник поворачивается в другую.

С космосом есть своя трудность – расстояния. Радиосигнал летит со скоростью света, около 300 000 км в секунду. До Луны он добирается чуть больше чем за секунду. А до Марса – от 3 до 22 минут в одну сторону, смотря где планеты находятся на своих орбитах. Рулить марсоходом с Земли, как машинкой с пульта, не получится: пока картинка долетит, пока вернётся команда, он уже уедет. Поэтому марсоход сам объезжает камни, а с Земли ему присылают только цель: «доехать вон до той скалы». Чем дальше аппарат, тем больше решений должна принимать его собственная КФС.

1.6. Связь и управление – две сквозные технологии

Телефон превращает голос в радиоволны, второй телефон превращает их обратно в голос. Между ними – воздух и вышки.

Слово «кибернетика» прославил американский учёный Норберт Винер. В 1948 году вышла его книга «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине». Название взято от греческого слова «кибернетес» – рулевой, тот, кто управляет кораблём. Две вещи из названия книги – связь и управление – проходят через всю сферу «Кибертех». Их называют сквозными технологиями: без них не работает ни одна КФС, какую ни возьми.

Связь – это как доставить сообщение от одного места к другому. Разработчики сферы раскладывают канал связи на пять частей:

• источник – тот, у кого есть сообщение (человек, датчик);
• кодирующее устройство – превращает сообщение в сигнал, который может лететь по среде (микрофон и телефон превращают голос в радиоволну);
• физическая среда – то, через что идёт сигнал: провод, воздух, вода, космос;
• декодирующее устройство – превращает сигнал обратно в сообщение;
• получатель – тот, кому сообщение нужно (контроллер, человек).

Среды бывают разные. По проводу идёт ток. По воздуху – радиоволны (Wi-Fi, Bluetooth, сотовая связь), звук и свет. Пульт от телевизора светит инфракрасным лучом – светом, который глаз не видит, а камера телефона видит: наведи на неё пульт и нажми кнопку. В каждой среде сигнал может ослабнуть или исказиться, и тогда сообщение дойдёт с ошибками. Как с этим бороться, расскажут главы 2–5.

Управление – это как заставить систему делать то, что нужно. Есть управление вслепую, по плану: фонарь по часам, стиральная машина крутит барабан 40 минут, что бы ни происходило. И есть управление с обратной связью, по показаниям датчиков: фонарь с датчиком света, котёл с термометром. Второе умнее, но и программу для него писать труднее: заранее нужно продумать, что делать в каждом случае. Как такие программы собирают в графической среде Кибериада IDE, узнаешь в главах 6 и 7.

Связь и управление всегда идут вместе. Датчик в теплице бесполезен, если его показания не дошли до контроллера. А команда «открыть клапан», потерянная по дороге, огурцы не польёт.

1.7. Турнир юных киберфизиков

На пути сигнала – шум и преграды. Выигрывает команда, чьё сообщение дошло без ошибок.

Турнир юных киберфизиков (ТЮК) – командное инженерное соревнование сферы. В программе кружка он встречается дважды: в первом модуле – чтобы сразу попробовать руками, и в двенадцатом, ближе к концу года, – чтобы проверить, чему научился. На турнире команды решают инженерную задачу, в которой надо наладить связь по разным каналам. Для этого есть комплекты «Акустика» (сообщение передают звуком) и «Инфракрасный сигнал» (передают невидимым светом), а ещё учебное устройство КиберМишка. На вебинаре сферы рассказывали, что у КиберМишки есть микрофоны, кнопки, акселерометр (датчик наклона и тряски, как в телефоне) и светодиодный экранчик, на котором он показывает, что услышал. Его программируют в Кибериаде IDE, а если настоящего Мишки нет – работают с его симулятором.

На финале НТО Юниоры основной тур проходит на компьютерах в симуляторах, а в регионах с оборудованием ещё устраивают «железный» хакатон: тот же канал связи, что настраивали в симуляторе, собирают из настоящих комплектов.

КиберМишку легко разложить на звенья из этой главы. Микрофон – датчик. Звук, который летит через комнату, – среда канала связи. Программа Мишки – обработка и управление. Экранчик – исполнитель: он зажигает буквы, и их видят люди.

1.8. Разбираем задачи

Задача 1.1 Автополив в теплице

разминка · звенья КФС, датчик и исполнитель

Бабушка уезжает с дачи на неделю, и внук собрал автополив для теплицы с огурцами. Как он работает, видно на рисунке. Каждой части системы (А–Д) поставь в соответствие её роль:

1 – датчик; 2 – передача; 3 – обработка; 4 – управление; 5 – исполнитель.

• А – электроклапан на трубе с водой: открывается и закрывается по команде;
• Б – радиомодуль: пересылает показания из теплицы в дом;
• В – датчик влажности, воткнутый в грядку;
• Г – прошивка в контроллере: сравнивает влажность почвы с порогом 30 %;
• Д – команда «открыть», которая идёт от контроллера по проводу к клапану.

В ответ введи номера ролей для частей А, Б, В, Г, Д подряд, без пробелов.

Дано: пять частей системы А–Д и пять ролей 1–5.
Найти: строку из пяти цифр.

Шаг 1. Идём вслед за сигналом. Начинаем с места, где система узнаёт о мире. Сухость почвы замечает датчик влажности – это В, роль 1.

Шаг 2. Куда уходит показание. Датчик в теплице, контроллер в доме. Показание нужно доставить – это делает радиомодуль Б. Роль 2, передача.

Шаг 3. Кто думает. Число «влажность 22 %» само ничего не значит. Прошивка Г сравнивает его с порогом 30 % и решает: сухо, пора поливать. Это обработка, роль 3.

Шаг 4. Кто отдаёт приказ. Решение превращается в команду «открыть», которая бежит по проводу к клапану, – это Д. Управляющий сигнал, роль 4.

Шаг 5. Кто действует. Клапан А открывается, и вода течёт к огурцам. Он меняет мир – роль 5, исполнитель.

Шаг 6. Собираем ответ по порядку букв. А – 5, Б – 2, В – 1, Г – 3, Д – 4.

Себя легко проверить: пять частей, пять ролей, каждая цифра встретилась по одному разу. Если бы у тебя вышло два «датчика» и ни одной «передачи», стоило бы вернуться к шагам 1–2.

Типичная ошибка. Записать цифры в порядке работы системы (В, Б, Г, Д, А → 1 2 3 4 5) вместо порядка букв. Условие просит ответ для частей А, Б, В, Г, Д – по алфавиту. Вторая ловушка – путать обработку и управление: «сравнить с порогом» – это ещё раздумья (3), а «команда клапану» – уже приказ (4).

Ответ: 52134.

Своя задача по программе сферы, модуль 1

Задача 1.4 Пока автоматика думает

время реакции, скорость, перевод км/ч в м/с

В машине стоит система автоматического торможения. Радар опрашивается 20 раз в секунду. Передача показания в бортовой компьютер занимает 0,01 с, обработка – 0,04 с, а тормозам нужно 0,2 с, чтобы начать тормозить после команды. Машина едет со скоростью 54 км/ч. Сколько метров она проедет в худшем случае от появления препятствия до начала торможения? Ответ дай в метрах, округли до десятых.

Дано: 20 опросов в секунду; $t_{\text{пер}} = 0{,}01$ с; $t_{\text{обр}} = 0{,}04$ с; $t_{\text{исп}} = 0{,}2$ с; $v = 54$ км/ч.
Найти: $s$ – ?

Шаг 1. Период опроса. 20 раз в секунду – значит, между опросами $1 / 20 = 0{,}05$ с.

Шаг 2. Худший случай. Препятствие появилось сразу после опроса. Радар заметит его только на следующем, через целый период: ожидание 0,05 с.

Шаг 3. Время реакции. Складываем все задержки: $t = 0{,}05 + 0{,}01 + 0{,}04 + 0{,}2 = 0{,}3$ с.

Шаг 4. Скорость в м/с. Время у нас в секундах, значит, и скорость нужна в метрах в секунду: $v = 54 / 3{,}6 = 15$ м/с.

Шаг 5. Путь. $s = v \cdot t = 15 \cdot 0{,}3 = 4{,}5$ м.

Это примерно длина самой машины. Для сравнения: человеку от момента, когда он увидел препятствие, до нажатия на тормоз нужно около секунды – за это время машина проехала бы все 15 м. Автоматика выигрывает у водителя больше десяти метров.

Типичная ошибка. Подставить скорость в км/ч: $54 \cdot 0{,}3 = 16{,}2$ – и получить «16,2 м». Километры в час и секунды в одной формуле не живут. Ещё одна – забыть ожидание опроса и ответить $15 \cdot 0{,}25 = 3{,}75$ м: это лучший случай, а спрашивали про худший.

Ответ: 4,5 м.

Своя задача по программе сферы, модуль 1

Задача 1.6^* Дрон в тумане

датчики приближения, правило управления, выбор манёвра

Дрон-разведчик летит сквозь туман, камера ничего не видит. Спереди у него столбик из семи датчиков приближения, сверху вниз – датчики 1–7. Датчик 4 смотрит прямо по курсу, остальные – на ряды выше и ниже. Каждый датчик выдаёт 1, если в его ряду впереди препятствие, и 0, если ряд свободен.

Правило прошивки такое. Если свободен ряд 4 – лететь прямо (манёвр 0). Иначе искать ближайший свободный ряд: сначала на один ряд ниже, потом на один выше, потом на два ниже, на два выше, на три ниже, на три выше. Первый найденный – туда и сместиться: вверх на $k$ рядов – манёвр $+k$, вниз – манёвр $-k$. Снижаться выгоднее, поэтому при равном расстоянии вниз проверяют раньше. После манёвра датчики снова отсчитывают ряды от нового курса.

Дрон получил пять показаний подряд (цифры датчиков 1–7 сверху вниз):

Таблица 1.2

Показание	Датчики 1–7
П1	0 1 1 1 1 1 1
П2	0 1 1 0 1 1 1
П3	1 0 1 1 1 1 0
П4	0 1 1 1 0 1 1
П5	1 0 1 1 1 0 1

На сколько рядов выше (+) или ниже (−) начального курса окажется дрон после пятого манёвра? Ответ – целое число со знаком.

Дано: пять показаний, правило поиска «ниже – выше, от ближних к дальним».
Найти: итоговое смещение в рядах.

Шаг 1. Порядок проверки. Выпишем, в каком порядке прошивка смотрит на датчики: 4, потом 5 (на ряд ниже), 3 (на ряд выше), 6, 2, 7, 1. Первый ноль в этом порядке и решает манёвр.

Шаг 2. П1: 0 1 1 1 1 1 1. Датчик 4 – единица, 5 – единица, 3 – единица, 6 – единица, 2 – единица, 7 – единица, 1 – ноль. Датчик 1 на три ряда выше курса: манёвр $+3$.

Шаг 3. П2: 0 1 1 0 1 1 1. Датчик 4 показывает 0 – курс свободен, летим прямо: манёвр 0. То, что свободен и ряд 1, значения не имеет.

Шаг 4. П3: 1 0 1 1 1 1 0. 4 – занят, 5 – занят, 3 – занят, 6 – занят, 2 – свободен. Датчик 2 на два ряда выше: манёвр $+2$. Свободен и ряд 7, но он на три ряда ниже – дальше, до него очередь не дошла.

Шаг 5. П4: 0 1 1 1 0 1 1. 4 – занят, 5 – свободен. Манёвр $-1$.

Шаг 6. П5: 1 0 1 1 1 0 1. 4, 5, 3 заняты. На расстоянии два ряда свободны оба: 6 (ниже) и 2 (выше). По правилу вниз проверяют раньше – выбираем 6. Манёвр $-2$.

Шаг 7. Складываем. Каждое показание отсчитано от нового курса, поэтому манёвры просто складываются: $+3 + 0 + 2 - 1 - 2 = +2$. По пути дрон побывал на высотах $+3, +3, +5, +4, +2$ ряда от начального курса.

Типичная ошибка. В П5 выбрать ряд 2, потому что он «выше в списке», и получить манёвр $+2$ – тогда итог $+6$. При равном расстоянии правило велит снижаться. Вторая ошибка – в П3 взять ряд 7, «ведь снижаться выгоднее»: но выгода работает только при равном расстоянии, а ряд 2 ближе.

Ответ: 2.

По мотивам задачи первого отборочного этапа НТО 2025/26, профиль «Технологии беспроводной связи», «Крутое пике»

Задача 1.7^* Обогреватель в теплице

два порога, память состояния, обратная связь

Весной ночью в теплице на даче может ударить заморозок. Обогреватель управляется так: если температура ниже 12 °C – включить; если выше 16 °C – выключить; иначе – оставить как есть. Контроллер смотрит на термометр раз в 10 минут и до следующего замера ничего не меняет. В 20:00 обогреватель выключен. Замеры с 20:00 до 21:50:

Таблица 1.3

Время	°C	Время	°C
20:00	15	21:00	17
20:10	13	21:10	15
20:20	11	21:20	13
20:30	12	21:30	11
20:40	14	21:40	10
20:50	16	21:50	12

Сколько минут работал обогреватель с 20:00 до 22:00?

Дано: пороги 12 °C (включить) и 16 °C (выключить); 12 замеров через 10 мин; в начале выключен.
Найти: время работы, мин.

Шаг 1. Правило на каждый замер. Это два порога из раздела 1.3. Меньше 12 – «вкл». Больше 16 – «выкл». От 12 до 16 включительно – оставить то, что было. Каждый замер решает судьбу следующих 10 минут.

Шаг 2. Идём по замерам.

• 20:00 – 15 °C: между порогами, остаётся как было – выкл.
• 20:10 – 13 °C: между порогами – выкл.
• 20:20 – 11 °C: меньше 12 – вкл.
• 20:30 – 12 °C: не меньше 12 и не больше 16 – остаётся вкл.
• 20:40 – 14 °C: остаётся вкл.
• 20:50 – 16 °C: не больше 16 – остаётся вкл.
• 21:00 – 17 °C: больше 16 – выкл.
• 21:10 – 15 °C, 21:20 – 13 °C: между порогами – выкл.
• 21:30 – 11 °C: вкл.
• 21:40 – 10 °C: вкл. 21:50 – 12 °C: остаётся вкл.

Шаг 3. Считаем. Обогреватель был включён после замеров 20:20, 20:30, 20:40, 20:50 – это 4 отрезка, и после замеров 21:30, 21:40, 21:50 – ещё 3. Всего $4 + 3 = 7$ отрезков по 10 минут: $7 \cdot 10 = 70$ мин.

Проверка кодом. Это первая программа в книге, разберём её построчно:

temps = [15, 13, 11, 12, 14, 16, 17, 15, 13, 11, 10, 12]
heater = False              # в начале выключен
minutes = 0
for t in temps:             # берём замеры по одному
    if t < 12:
        heater = True       # холодно – включить
    elif t > 16:
        heater = False      # жарко – выключить
    # иначе ничего не делаем: heater помнит прежнее
    if heater:
        minutes += 10       # ещё 10 минут работы
print(minutes)              # 70

Строка 1 – список замеров. Строка 2 – переменная heater («обогреватель»): ячейка памяти, в которой лежит True (включён) или False (выключен). Строка 3 – счётчик минут. Строка 4 – цикл: для каждого замера t по очереди выполняются строки с отступом. if значит «если», elif – «а иначе если». Строки, начинающиеся с #, – пояснения, Python их пропускает. Главное здесь то, чего в программе нет: для температуры от 12 до 16 нет никакой команды, и heater сохраняет старое значение. Так система и помнит своё состояние.

Проверим на здравый смысл: из 120 минут обогреватель проработал 70 – больше половины. Холодная весенняя ночь, температура дважды падала ниже 12 °C – похоже.

Типичная ошибка. Забыть про память и считать, что обогреватель работает только тогда, когда ниже 12 °C. Таких замеров три (11, 11, 10) – выходит 30 мин. Между порогами обогреватель продолжает делать то, что делал. Вторая ловушка – замеры 12 и 16 °C, которые попали точно на пороги: «ниже 12» и «выше 16» означает строго меньше и строго больше, поэтому на них ничего не переключается.

Ответ: 70 мин.

Своя задача по программе сферы, модуль 1

2.1. Явление и сигнал

Свет один и тот же. Но про три вспышки вы с мамой договорились заранее – и свет превратился в сообщение.

Гром, ветер, свет лампы, тепло от батареи – это физические явления. Они просто происходят. Явление становится сигналом, когда в него вкладывают смысл и передают кому-то: договорились, что три вспышки фонарика значат «ужин готов», – и мигание стало сообщением. Школьный звонок – тоже сигнал: звук сам по себе ничего не значит, но все знают, что после него начинается перемена.

Сигнал – это изменение физической величины, которое несёт информацию. Величина может быть любой: громкость звука, яркость света, напряжение в проводе, температура, – но она должна меняться. Градусник, который неделю показывает одни и те же 20 градусов, ничего нового не расскажет. А если за ночь столбик упал до минус 30, это уже новость: пора доставать пуховик.

У любого сигнала есть три участника:

• источник – кто посылает: человек с фонариком, пульт от телевизора, динамик;
• среда – через что сигнал идёт: воздух, вода, провод, пустое пространство;
• приёмник – кто ловит: глаз, ухо, микрофон, датчик.

Сигнал может рассказывать и о самой среде, через которую прошёл. Эхолот на катере на Обском море посылает вниз короткий звук и слушает эхо от дна. Чем дольше эхо шло обратно, тем глубже в этом месте. Эхо вернулось слабым и «размазанным» – дно илистое или под катером косяк рыбы.

Электроника не слышит звук и не видит свет. Она понимает только электрический сигнал – изменение напряжения. Напряжение – это «напор», с которым электричество толкается по проводу; его меряют в вольтах (В). Поэтому в каждом устройстве стоит датчик – прибор, который переводит свет, звук или тепло в напряжение. У датчика освещённости (фоторезистора) от света меняется сопротивление – то, насколько сильно он мешает току течь, – и напряжение на нём растёт или падает. В микрофоне звук качает тонкую пластинку, и в проводе получается дрожащее напряжение, похожее на сам звук. У КиберМишки, устройства сферы, есть микрофоны, ИК-датчик (ловит инфракрасный свет, как телевизор ловит сигнал пульта) и акселерометр (чувствует наклон и тряску).

2.2. Аналоговый и цифровой сигнал

На пандусе в магазине можно остановиться на любой высоте. На лестнице – только на ступеньке, между ними не встанешь. Аналоговый сигнал – пандус, цифровой – лестница.

Аналоговый сигнал меняется плавно и может принять любое значение. Твой голос, температура за окном, стрелка на старых весах, столбик в стеклянном градуснике – всё это аналоговое. Между 36,6 и 36,7 градуса столбик пройдёт через 36,61, 36,62 и через все значения, какие только можно придумать.

Цифровой сигнал – это набор отдельных чисел. Промежуточных значений у него нет, как нет полступеньки на лестнице. Электронный градусник показывает 36,6 или 36,7, а 36,63 показать не может: его «ступенька» – одна десятая градуса. Самый простой цифровой сигнал – из двух уровней, 0 и 1: кнопка нажата или нет, свет есть или нет.

Мир вокруг нас аналоговый, а компьютер работает только с числами. Поэтому прибор превращает аналоговый сигнал в цифровой в два хода. Сначала измеряет его через равные промежутки времени – об этом раздел 2.4. Потом округляет каждое измерение до ближайшей своей ступеньки. Датчик может, например, выдавать целые числа от 0 до 1023: тогда напряжение 2,4837 В превратится в какое-то одно целое число, а мелкие отличия пропадут.

Зачем тогда вообще цифра, если она теряет подробности? Числа легко хранить, копировать и передавать без искажений. Помеха чуть-чуть изменила напряжение – аналоговый звук захрипит. А цифровой приёмник всё равно узнает, 0 пришёл или 1, если помеха меньше расстояния между ступеньками.

2.3. Колебания: амплитуда, период, частота, фаза

Качели отходят от середины на одно и то же расстояние – это амплитуда. Туда и обратно – один период. А сколько таких «туда-обратно» уложится в секунду – частота.

Многие сигналы повторяются: качели, струна гитары, звук, ток в розетке. Такое повторяющееся движение называют колебанием. Самое простое и плавное колебание рисуется волнистой линией – синусоидой. Её ещё называют гармоническим сигналом. Почему она так важна, узнаешь в главе 3: из синусоид можно сложить любой сложный звук.

Сигнал рисуют графиком. По горизонтали – время, по вертикали – значение сигнала в этот момент (напряжение, громкость, число с датчика). Посмотри на рисунок: на нём подписано всё, что нужно уметь находить.

Средний уровень – линия, вокруг которой сигнал качается. На рисунке это 50. Он совсем не обязан быть нулём: у датчика, который выдаёт числа от 0 до 1023, тишина часто записывается числом где-то посередине.

Амплитуда $A$ – на сколько сигнал отходит от среднего уровня в самой высокой точке (её называют гребнем). На рисунке сигнал поднимается до 80, средний уровень 50, значит, $A = 80 - 50 = 30$. Расстояние от самой низкой точки до самой высокой – размах – вдвое больше: $80 - 20 = 60 = 2A$. Если известны только наибольшее и наименьшее значения, то

$$A = \frac{\text{наибольшее} - \text{наименьшее}}{2}, \qquad \text{средний уровень} = \frac{\text{наибольшее} + \text{наименьшее}}{2}.$$

Период $T$ – время одного полного колебания. Мерить его можно от гребня до следующего гребня, от впадины до впадины или от любой точки до следующей такой же, где сигнал снова идёт в ту же сторону. На рисунке гребни в 1 мс и 5 мс, значит, $T = 5 - 1 = 4$ мс. А ещё по нижней стрелке: сигнал поднимается через средний уровень в 4 мс и снова в 8 мс, те же 4 мс.

Частота $f$ – сколько полных колебаний проходит за одну секунду. Единица частоты – герц (Гц), по фамилии учёного Генриха Герца: 1 Гц – это одно колебание в секунду. Частота и период связаны простым правилом: чем короче одно колебание, тем больше их влезает в секунду. Словами – частота равна единице, делённой на период:

$$f = \frac{1}{T}, \qquad T = \frac{1}{f},$$

где $T$ – в секундах, а $f$ – в герцах. Если период дан в миллисекундах, сначала переведи его в секунды: 1 мс = 0,001 с. На рисунке $T = 4$ мс $= 0{,}004$ с, и $f = 1 : 0{,}004 = 250$ Гц.

Ещё два пересчёта. 1 кГц (килогерц) = 1000 Гц, 1 МГц (мегагерц) = 1 000 000 Гц. Сколько колебаний $N$ пройдёт за время $t$: $N = f \cdot t$. Ток в розетке меняется с частотой 50 Гц, его период $1 : 50 = 0{,}02$ с = 20 мс, и за минуту он успеет качнуться $50 \cdot 60 = 3000$ раз.

Что меняется, если меняются амплитуда и частота:

• у звука амплитуда – это громкость, частота – высота тона. Писк комара – высокая частота, гудение трансформаторной будки – низкая. Человек слышит примерно от 20 Гц до 20 000 Гц, а нота «ля» первой октавы, по которой настраивают инструменты, – это 440 Гц;
• у света амплитуда – яркость, частота – цвет.

Качели одинаковые, размах одинаковый. Отличается только одно: кто на сколько опоздал. Это опоздание и есть сдвиг по фазе.

Фаза. Вернись к качелям на картинке. Амплитуда и период у ребят одни и те же, но когда первый взлетел на самый верх, второй только проносится через середину. Их колебания сдвинуты по фазе. Фаза говорит, в какой части своего колебания сигнал находится сейчас: на подъёме, на гребне, на спуске. Сдвиг удобно мерить долей периода. Пусть качели делают одно «туда-обратно» за 4 с – тогда секунда опоздания составляет четверть периода: $1 : 4 = 0{,}25$. Второй доберётся до верха, когда первый уже вернётся к середине.

Самый интересный сдвиг – на половину периода, его называют противофазой. Один сигнал вверху, когда другой внизу, и наоборот. Сложи два таких сигнала с одинаковой амплитудой – и они погасят друг друга. На этом работают наушники с шумоподавлением: микрофон слушает шум вокруг, наушник играет тот же звук, сдвинутый на полпериода, и шум в ухе почти пропадает.

Как читать график сигнала. Порядок всегда один.

1. Прочитай подписи осей. В чём время: в секундах, миллисекундах? Сколько стоит одна клеточка?
2. Найди наибольшее и наименьшее значения. Из них – средний уровень и амплитуду.
3. Найди два гребня подальше друг от друга и посчитай, сколько полных колебаний между ними. Раздели время между гребнями на это число – получишь период. Так точнее, чем мерить одно колебание: ошибка в полклеточки делится на число колебаний.
4. Переведи период в секунды и найди частоту: $f = 1 / T$.

2.4. Дискретизация: сигнал по точкам

Кино – это много фотографий подряд. Компьютер тоже «фотографирует» сигнал через равные промежутки и хранит только снимки. Соединишь их – получишь движение.

Компьютер не может следить за сигналом непрерывно. Он измеряет его время от времени и записывает числа. Одно такое измерение называется отсчётом, а сам способ – измерять сигнал через равные промежутки времени – дискретизацией (от латинского слова «прерывистый»).

Время между соседними отсчётами называют шагом и обозначают $\Delta t$ («дельта тэ»). А сколько отсчётов прибор делает за одну секунду – это частота дискретизации $f_{\text{д}}$, её ещё называют частотой отсчётов. Единица у неё та же – герц. Шаг и частота дискретизации связаны так же, как период и частота: $f_{\text{д}} = 1 / \Delta t$. Термометр на метеостанции, который меряет температуру раз в 10 минут, делает 6 отсчётов в час и $6 \cdot 24 = 144$ отсчёта в сутки. Музыку на компакт-диске записывали с частотой дискретизации 44 100 Гц: 44 100 отсчётов в каждую секунду для каждого из двух каналов, левого и правого.

Две формулы пригодятся в задачах. Сколько отсчётов наберётся за время $t$:

$$N = f_{\text{д}} \cdot t.$$

Сколько отсчётов придётся на одно колебание сигнала с частотой $f$:

$$\text{отсчётов на период} = \frac{f_{\text{д}}}{f}.$$

Зачем считать отсчёты на период? По ним видно, хватит ли их, чтобы разглядеть сигнал.

Сверху на одно колебание приходится 20 отсчётов, и точки повторяют форму волны. Снизу сигнал делает 9 колебаний в секунду, а прибор измеряет только 10 раз в секунду. Между двумя отсчётами волна успевает пройти почти целое колебание, и каждая следующая точка попадает в неё чуть в другом месте. Соединишь точки – выйдет медленная волна, одно колебание в секунду. Такого сигнала не было, его нарисовали редкие точки. По той же причине в кино колёса быстрой машины иногда будто крутятся медленно или даже назад.

Правило такое: отсчётов на один период должно быть больше двух. Иначе быстрый сигнал «притворится» медленным. Поэтому для компакт-диска и выбрали 44 100 Гц: человек слышит звуки до 20 000 Гц, и на каждое колебание самого высокого из них приходится больше двух отсчётов ($44\,100 : 20\,000 = 2{,}2$). А чтобы по точкам ещё и разглядеть форму волны, берут 10–20 отсчётов на период.

2.5. Детектирование: порог, период, шум

Линия на стене – это порог. Макушка выше линии – проходишь, ниже – подожди годик. Датчик решает так же, только вместо роста у него значение сигнала.

Приёмнику мало поймать сигнал, из него нужно достать то, ради чего сигнал посылали. Это называется детектированием: выделить из сигнала полезное – «есть сигнал или нет», «какой высоты звук». Детектируют по уровню или по периоду.

Детектирование по уровню (его ещё называют амплитудным). Выбирают число – порог срабатывания. Сигнал выше порога – устройство считает, что «есть» (1), ниже – «нет» (0). Так фонарь во дворе решает, стемнело ли, а автоматическая дверь в супермаркете – подошёл ли кто-то. После сравнения с порогом аналоговый сигнал превращается в цифровой из нулей и единиц.

Сколько раз сработал датчик? Считать нужно не точки выше порога, а переходы снизу вверх: предыдущий отсчёт был ниже порога, а следующий – уже не ниже. Громкий хлопок может длиться три отсчёта подряд, но это один хлопок. Если отсчёт равен порогу, смотри условие: там скажут, считать его «выше» или «ниже».

В какой момент это случилось? Если первый отсчёт сделан в момент 0, удобно нумеровать отсчёты с нуля: номер 0 – в самом начале, номер 1 – через один шаг. Тогда время отсчёта = номер · шаг. Отсчёт номер 3 при шаге 50 мс сделан в момент $3 \cdot 50 = 150$ мс, а не 200 мс.

Магнитик пролетает мимо датчика раз за оборот – щёлк. Считать надо промежутки между щелчками, а не сами щелчки.

Детектирование по периоду (частотное). Здесь неважно, насколько сигнал сильный, – важно, как часто он повторяется. Прибор меряет время между одинаковыми событиями и находит период, а по нему – частоту. Так устроен велокомпьютер: на спице колеса магнитик, на вилке датчик. Время между щелчками – период оборота. Зная окружность колеса, прибор считает скорость. Похожие датчики стоят на колёсах автомобиля в системе АБС: по щелчкам она замечает, что колесо при торможении вдруг перестало крутиться, и чуть отпускает тормоз.

Щелчки и промежутки путают постоянно. У забора из 5 столбиков 4 пролёта – и пять щелчков дают четыре периода.

Шум. Настоящий сигнал с датчика никогда не бывает гладким. К нему примешивается шум (помеха) – всё лишнее, что попало по дороге: дрожание руки, соседний прибор, мелкие скачки внутри самого датчика. Вдали от порога шум не мешает. А вблизи порога сигнал начинает прыгать через него туда-сюда, и датчик срабатывает много раз вместо одного.

Что с этим делают:

• ставят два порога: включить выше одного, выключить ниже другого (так было с обогревателем в главе 1);
• требуют подтверждения: засчитывают срабатывание, только если сигнал продержался выше порога несколько отсчётов подряд. Короткий одиночный скачок так не пройдёт;
• сглаживают сигнал, прежде чем сравнивать его с порогом. Как это делает фильтр низких частот – в главе 3.

2.6. Разбираем задачи

Задача 2.2 Период по графику

чтение графика, амплитуда, период и частота

На рисунке – сигнал с микрофона, записанный, когда рядом звучала струна. а) Найди амплитуду сигнала. б) Найди частоту звука в герцах.

Дано: график сигнала.
Найти: $A$ – ?, $f$ – ?

Шаг 1. Оси. По горизонтали время в миллисекундах, крупные деления через 1 мс, тонкие линии – через 0,5 мс. По вертикали – значение сигнала в условных единицах (ед.).

Шаг 2. Наибольшее и наименьшее. Все гребни доходят до 80, все впадины – до 20.

Шаг 3. Средний уровень и амплитуда. Средний уровень $(80 + 20) : 2 = 50$. Амплитуда – от среднего уровня до гребня: $A = 80 - 50 = 30$ ед. Или через размах: $(80 - 20) : 2 = 30$ ед.

Шаг 4. Гребни подальше друг от друга. Первый гребень – в 1 мс. Дальше гребни в 3,5; 6; 8,5; 11 и 13,5 мс. Возьмём первый и последний: между ними $13{,}5 - 1 = 12{,}5$ мс. Сколько там колебаний? Гребней шесть, а промежутков между ними – пять.

Шаг 5. Период. $T = 12{,}5 : 5 = 2{,}5$ мс. Проверим по соседним гребням: $3{,}5 - 1 = 2{,}5$ мс – то же самое.

Шаг 6. Период в секунды и частота. $T = 2{,}5 : 1000 = 0{,}0025$ с. $f = 1 : 0{,}0025 = 400$ Гц.

Прикинем по-другому: за 10 мс на графике проходит 4 колебания (гребни в 1; 3,5; 6; 8,5 и снова через 10 мс после первого, в 11). Сотая доля секунды – 4 колебания, целая секунда – в 100 раз больше, 400.

Типичная ошибка. В амплитуде – взять верхнюю точку целиком и ответить «80». Амплитуду отсчитывают от среднего уровня, а он здесь 50, а не 0. Другая ошибка – записать в ответ размах 60. В частоте чаще всего путают гребни и промежутки: шесть гребней – это пять периодов, а не шесть. С шестью выйдет $12{,}5 : 6 = 2{,}08$ мс и 480 Гц.

Ответ: а) 30 ед.; б) 400 Гц.

Своя задача по программе сферы, модуль 2

Задача 2.4 КиберМишка считает хлопки

детектирование по уровню, порог, переход снизу вверх

КиберМишка слушает микрофоном и считает хлопки. Громкость он измеряет каждые 50 мс, первый отсчёт – в момент 0 мс. Хлопок засчитывается, когда громкость переходит через порог 60 снизу вверх: предыдущий отсчёт меньше 60, а следующий – 60 или больше. Вот 20 отсчётов по порядку:

12, 15, 11, 74, 88, 41, 14, 10, 13, 16, 67, 72, 23, 12, 9, 18, 91, 85, 30, 11.

Сколько хлопков насчитает КиберМишка и в какой момент он засчитает первый? В ответ введи два числа через пробел: число хлопков и время первого в миллисекундах.

Дано: 20 отсчётов; шаг $\Delta t = 50$ мс; порог 60; срабатывание – переход снизу вверх.
Найти: число хлопков; время первого, мс.

Шаг 1. Нули и единицы. Под каждым отсчётом пишем 1, если он 60 или больше, и 0, если меньше:

0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0.

Шаг 2. Переходы 0 → 1. Их три: $11 \to 74$, $16 \to 67$, $18 \to 91$. Значит, хлопков три. Каждый хлопок звучал два отсчёта подряд, но засчитан один раз.

Шаг 3. Номер первого перехода. Нумеруем отсчёты с нуля: 12 – номер 0, 15 – номер 1, 11 – номер 2, 74 – номер 3. Хлопок засчитан на отсчёте номер 3.

Шаг 4. Время. $3 \cdot 50 = 150$ мс.

На рисунке это легко проверить: первая точка выше красной линии стоит посередине между отметками 100 и 200 мс. Остальные хлопки – в $10 \cdot 50 = 500$ мс и $16 \cdot 50 = 800$ мс. Между хлопками по 0,3–0,35 с – человек хлопает как раз примерно так.

Проверим кодом. Строки после # – пояснения, Python их не читает.

gromkost = [12, 15, 11, 74, 88, 41, 14, 10, 13, 16,
            67, 72, 23, 12, 9, 18, 91, 85, 30, 11]
porog = 60
hlopki = []                       # сюда запишем моменты хлопков, мс
for i in range(1, len(gromkost)): # i – номер отсчёта: 1, 2, …, 19
    if gromkost[i - 1] < porog <= gromkost[i]:   # был ниже, стал не ниже
        hlopki.append(i * 50)     # время = номер · шаг
print(len(hlopki), hlopki)        # 3 [150, 500, 800]

Первая строка кладёт отсчёты в список – пронумерованный ряд чисел; gromkost[3] – это отсчёт номер 3, то есть 74. for перебирает номера, начиная с 1: у нулевого отсчёта нет предыдущего. if проверяет переход. Запись a < porog <= b Python читает как «a меньше порога, а порог не больше b» – две проверки сразу. append дописывает момент в конец списка hlopki.

Типичная ошибка. Посчитать все точки выше порога и ответить «6 хлопков». Пятна громкости длиннее одного отсчёта, поэтому считают переходы. Во втором числе часто пишут 200 мс: 74 – четвёртое число в ряду, и его умножают на 4. Но первое число сделано в момент 0, так что четвёртое – через три шага, в 150 мс.

Ответ: 3 150.

Своя задача по программе сферы, модуль 2

Задача 2.6^* Два микрофона

амплитуда по таблице, период, задержка звука, скорость звука

На тренировке по акустическому каналу динамик играет ровный тон, а два микрофона записывают его. Каждые 0,5 мс приёмник сохраняет по числу с каждого микрофона. Второй микрофон стоит дальше от динамика, чем первый, но не больше чем на 1 м. Скорость звука в воздухе – 340 м/с. Вот начало записи:

Таблица 2.1

Время, мс	Микрофон 1	Микрофон 2
0	512	432
0,5	653	455
1,0	712	512
1,5	653	569
2,0	512	592
2,5	371	569
3,0	312	512
3,5	371	455
4,0	512	432
4,5	653	455
5,0	712	512
5,5	653	569
6,0	512	592

Найди: а) амплитуду сигнала первого микрофона; б) частоту тона в герцах; в) на сколько сантиметров второй микрофон дальше от динамика, чем первый. В ответ введи три числа через пробел.

Дано: таблица отсчётов, шаг 0,5 мс; разница расстояний не больше 1 м; $v = 340$ м/с.
Найти: $A_1$, $f$, разницу расстояний в см.

Шаг 1. Амплитуда первого микрофона. Наибольшее значение в столбце – 712, наименьшее – 312. Средний уровень $(712 + 312) : 2 = 512$. Амплитуда $A_1 = (712 - 312) : 2 = 200$.

Шаг 2. Период. Гребни первого микрофона (значение 712) – в 1,0 мс и в 5,0 мс. $T = 5{,}0 - 1{,}0 = 4$ мс. У второго микрофона гребни (592) – в 2,0 мс и 6,0 мс, период тот же, 4 мс. Оба микрофона слушают один тон, поэтому периоды и совпали.

Шаг 3. Частота. $T = 4$ мс $= 0{,}004$ с, $f = 1 : 0{,}004 = 250$ Гц.

Шаг 4. Задержка. Второй микрофон дальше, значит, звук приходит к нему позже. Гребень, который первый микрофон поймал в 1,0 мс, у второго появится в 2,0 мс.

Задержка 1 мс $= 0{,}001$ с. Здесь есть ловушка: все гребни одинаковые, и по ним не видно, какой из них «тот же». Может, гребень из 1,0 мс дошёл до второго микрофона только следующим, в 6,0 мс? Тогда задержка 5 мс, и звук прошёл бы лишние $340 \cdot 0{,}005 = 1{,}7$ м. А по условию разница не больше 1 м. Значит, задержка 1 мс.

Шаг 5. Разница расстояний. Лишний путь до второго микрофона звук проходит за 1 мс: $s = v \cdot t = 340 \cdot 0{,}001 = 0{,}34$ м $= 34$ см.

Амплитуда второго микрофона $(592 - 432) : 2 = 80$ – он слышит тише, как и положено дальнему. А треть метра разницы легко уместится на обычной парте.

Типичная ошибка. В пункте а) ответить «712» или «400». 712 – это отсчёт от нуля, а у этих микрофонов тишина записывается числом 512; 400 – размах, он вдвое больше амплитуды. В пункте в) забывают перевести миллисекунды в секунды: $340 \cdot 1 = 340$ «метров» – это уже другой конец города. И не забудь, что спрашивали сантиметры.

Ответ: 200 250 34.

По мотивам задачи первого отборочного этапа НТО 2025/26, профиль «Технологии беспроводной связи», «Радиоразминка»

3.1. Сложная волна – сумма простых

Сложи две простые волны – выйдет сложная. Работает и в обратную сторону: любую сложную волну можно разобрать на простые.

В главе 2 мы разбирали самую простую волну – синусоиду. Она плавно качается вверх-вниз, как качели, и её описывают два числа: амплитуда (на сколько волна отходит от середины) и частота (сколько колебаний в секунду). Так звучит камертон – металлическая вилочка, по которой настраивают гитару: чистое ровное «у-у-у».

Теперь включи на телефоне диктофон и скажи «привет». На экране появится не гладкая волна, а зубчатый забор. Голос, музыка, гул мотора, дрожь датчика – всё это сложные сигналы. Двести лет назад французский математик Жозеф Фурье показал: такой сигнал можно собрать из простых синусоид, у каждой – своя частота и своя амплитуда. Разбор сигнала на простые волны называют декомпозицией, по-русски – разложением. Почти всё в этой главе вырастает из этой мысли.

Как складывают волны. Складывают по точкам. Берём один момент времени и смотрим, где в этот момент первая волна и где вторая. Складываем два числа – получаем точку суммы. Повторяем для всех моментов, соединяем точки – готова новая линия.

Несколько точек с этого рисунка (значения сняты с графика и округлены до десятых):

В момент 0,25 с обе волны на вершине, и сумма поднимается выше всего: $3 + 1 = 4$. А в 0,35 с первая волна ещё наверху, вторая уже внизу, и они частично гасят друг друга: $2{,}4 + (-1) = 1{,}4$. Отсюда полезное правило: сумма никогда не поднимется выше, чем сумма амплитуд. Для двух волн это $A_1 + A_2$, для трёх – $A_1 + A_2 + A_3$. Ниже минус суммы амплитуд она тоже не опустится.

3.2. Спектр – «рецепт» сигнала

Каждый столбик – одна простая волна. Где столбик стоит – её частота, какой он высоты – её амплитуда.

Исаак Ньютон пропустил солнечный луч через стеклянную призму, и на стене появилась разноцветная полоска. Её назвали спектром. Оказалось, что белый свет – смесь цветов, и призма разводит их в стороны. Со сложным сигналом можно сделать то же самое: разложить его по частотам и посмотреть, из каких простых волн он сложен.

Похоже на борщ. По вкусу не скажешь, сколько в нём свёклы и сколько капусты. А в рецепте всё написано: свёкла – 300 г, капуста – 200 г, морковь – 100 г. Спектр – такой же рецепт сигнала: какие простые волны в него положили и сколько каждой.

У одного и того же сигнала есть два портрета:

• осциллограмма – график «сигнал во времени». По горизонтали время, по вертикали значение сигнала. Такой график рисует осциллограф – прибор, который показывает, как меняется напряжение;
• спектр – график «сигнал по частотам». По горизонтали частота в герцах, по вертикали амплитуда. Каждая простая волна – один столбик.

По осциллограмме сверху не угадаешь, что внутри три волны: линия просто петляет. Спектр снизу отвечает сразу. Три столбика – три волны. Столбик над 100 Гц самый высокий, значит, волна 100 Гц самая сильная. Волна 350 Гц слабее её вдвое: $3 : 1{,}5 = 2$.

Как читать спектр. Сначала подписи осей: что по горизонтали, что по вертикали, в каких единицах. Потом шаг сетки: если подписи стоят через 200 Гц, а между ними есть ещё чёрточки, то чёрточки идут через 100 Гц. Столбик, стоящий между подписями, придётся «досчитать» по чёрточкам. Теперь пересчитай столбики – столько в сигнале простых волн. Под каждым столбиком внизу читаешь частоту его волны, а по высоте – амплитуду.

Основная частота и обертоны. Нота ля первой октавы – это 440 Гц: на эту частоту настраивают камертоны. Но гитара, пианино и флейта, играя одну и ту же ля, звучат по-разному. Дело в спектре. Кроме основной волны 440 Гц в звуке есть более тихие волны на 880 Гц (вдвое выше), 1320 Гц (втрое выше) и так далее. Их называют обертонами – «верхними тонами». Какие обертоны есть и насколько они громкие, у каждого инструмента своё, и от этого зависит тембр – «окраска» звука. А у шума (шипение воды, шорох листьев) основной волны нет вовсе: спектр похож на траву – много низеньких столбиков на всех частотах.

Встретишь ещё слово гармоники. Так называют основную волну вместе с обертонами, и счёт у гармоник начинается с основной: 440 Гц – первая гармоника, 880 Гц – вторая. Получается, 880 Гц – это вторая гармоника и в то же время первый обертон. Номера сдвинуты на единицу, не перепутай.

Зачем спектр инженеру? По спектру вибрации двигателя видно поломку: в нём появляется столбик, которого у исправного мотора не было. Орнитологи – учёные, которые изучают птиц, – узнают птицу по спектру её песни, как человека по отпечатку пальца. А ползунки эквалайзера в музыкальном плеере поднимают и опускают отдельные частоты спектра: подвинул «басы» вверх – низкие столбики выросли.

3.3. Шум и фильтр низких частот

На входе сигнал был похож на пилу с зазубринами, на выходе он гладкий: осталась одна медленная волна.

Шум, или помехи, – всё, что примешалось к полезному сигналу по дороге: тряска мотора, наводки от соседних проводов, случайные ошибки датчика. Возьмём робот-пылесос. Он едет вдоль стены, и расстояние до неё меняется плавно. Но колёса подпрыгивают на стыках ламината, и датчик выдаёт 20, 23, 18, 22 см. Если верить каждому числу, робот решит, что стена то подходит, то убегает, и начнёт дёргаться из стороны в сторону.

Вспомним спектр. Плавное изменение расстояния – это медленные волны, у них низкая частота: одно-два колебания в секунду. Дрожь от колёс – быстрые волны, у них высокая частота: десятки и сотни колебаний в секунду. Полезное и вредное живут в разных частях спектра. Значит, их можно разделить по частоте.

Фильтр низких частот (ФНЧ) пропускает низкие частоты и задерживает высокие. Граница между ними называется частотой среза. Всё, что ниже неё, проходит, всё, что выше, гасится. На картинке спектра ФНЧ стирает все столбики правее частоты среза. У настоящего фильтра граница слегка размыта: волны рядом со срезом ослабевают постепенно. В задачах книги, если не сказано другое, фильтр считаем идеальным: волна ниже среза проходит целиком, выше – пропадает.

Фильтр высоких частот (ФВЧ) работает наоборот: убирает медленное и оставляет быстрое. Он нужен, когда полезное как раз быстрое. Сканер штрих-кода на кассе видит свет, отражённый от полосок: чёрная – темно, белая – светло, перепады очень частые. А общее освещение в зале меняется медленно, особенно если кассир ведёт сканер неровно. ФВЧ убирает этот медленный фон, и остаются только полоски.

Где стоит ФНЧ? Почти везде, где есть датчик. У квадрокоптера датчик наклона трясётся от моторов, и без фильтра автопилот сошёл бы с ума: ФНЧ стирает тряску, и автопилот видит настоящий наклон. В кардиографе – приборе, который рисует работу сердца зубчатой линией, – ФНЧ убирает помехи от мышц и соседних приборов.

3.4. Скользящее среднее

Одно большое число в окне делится на троих, поэтому скачки становятся меньше.

На компьютере самый простой фильтр низких частот – скользящее среднее. Для него нужно одно умение: находить среднее арифметическое. Среднее нескольких чисел – их сумма, делённая на количество: среднее 4, 8 и 3 равно $(4 + 8 + 3) : 3 = 15 : 3 = 5$.

Скользящее среднее считают так. Берут окно – несколько соседних чисел ряда, например три. Находят их среднее и записывают напротив середины окна. Потом сдвигают окно на одно число вправо и считают снова. И так, пока окно не упрётся в конец ряда.

Разберём ряд с картинки: 4, 8, 3, 7, 5, 9, окно 3.

• Первое окно 4, 8, 3: $(4 + 8 + 3) : 3 = 5$. Пишем напротив 8.
• Второе окно 8, 3, 7: $18 : 3 = 6$. Пишем напротив 3.
• Третье окно 3, 7, 5: $15 : 3 = 5$.
• Четвёртое окно 7, 5, 9: $21 : 3 = 7$.

Вышло 5, 6, 5, 7. В исходном ряду соседние числа прыгали на 4–5 единиц (от 8 к 3, от 3 к 7), а в сглаженном меняются на 1–2.

Сколько получится чисел. Из $n$ чисел окном $k$ выходит

$$n - k + 1$$

средних. Здесь $6 - 3 + 1 = 4$. Почему не 6? У краёв ряда полного окна не набрать: у первого числа нет соседа слева, у последнего – справа. С окном 3 теряется по одному числу с каждого края, с окном 5 – по два.

Почему это работает. Дрожь – это быстрые скачки то вверх, то вниз. В одно окно попадают и «плюсы», и «минусы», и они гасят друг друга. А медленное изменение за время одного окна почти не успевает поменяться, и среднее его сохраняет.

Какое окно взять. Чем окно шире, тем линия глаже. Но широкое окно заодно «съедает» то, что было полезным: вершины волн становятся ниже, короткие настоящие события размазываются, а с краёв ряда теряется больше чисел. Узкое окно бережёт детали, зато оставляет часть дрожи. Окна, которое хорошо всем, не бывает: чем-то всегда платишь, а чем можно заплатить – подскажет условие задачи.

3.5. Несущая и огибающая

Большой размах, маленький размах – так в сигнал записано сообщение.

Чтобы сигнал улетел далеко – от радиостанции до приёмника на даче, от спутника до Земли, – ему нужна энергия и подходящая частота. За это отвечает несущая – быстрое колебание, которое создаёт передатчик. У радиостанций на средних волнах несущая колеблется примерно от полумиллиона до полутора миллионов раз в секунду.

Одна несущая похожа на гудок на одной ноте: слышно, что передатчик включён, и больше ничего. Чтобы передать сообщение, у несущей меняют размах: сильнее – слабее, есть – нет. Проведи линию по верхушкам колебаний – получится огибающая, плавная медленная линия. В ней и сидит сообщение: форма звука из студии, команда роботу, точки и тире азбуки Морзе. Как «сажают» сообщение на несущую, разберём в главе 5.

Несущая всегда намного быстрее огибающей: пока огибающая делает одно медленное колебание, несущая успевает качнуться десятки, сотни, а то и тысячи раз. Посчитать это просто. Несущая 1000 Гц, огибающая 10 Гц: за один период огибающей проходит $1000 : 10 = 100$ колебаний несущей. Если один кусочек сообщения длится 0,02 с, в него уложится $1000 \cdot 0{,}02 = 20$ колебаний несущей.

Как приёмник достаёт огибающую. В два шага.

• Выпрямить – сделать все отрицательные значения положительными: –4 превращается в 4, а 4 остаётся 4. В электронной таблице это функция =ABS(B2).
• Сгладить выпрямленный сигнал фильтром низких частот, например скользящим средним. Окно берут не короче одного периода несущей.

Зачем выпрямлять? Возьми один период несущей: 0, 4, 0, –4. Его среднее $(0 + 4 + 0 - 4) : 4 = 0$. Плюсы и минусы гасят друг друга, и без выпрямления от сообщения остался бы ноль. После выпрямления 0, 4, 0, 4, и среднее $8 : 4 = 2$. Чем сильнее колебания, тем больше это число – оно и повторяет огибающую.

Заметь: сглаженная линия идёт ниже вершин. Среднее не поднимается выше самого большого числа в окне, а в нашем окне ещё и нули: вышло 2 при амплитуде 4. В настоящем приёмнике сигнал потом усиливают. Для задачи «где колебания сильные, а где слабые» это не мешает: большая огибающая остаётся большой, маленькая – маленькой. Выпрямитель вместе с фильтром называют амплитудным детектором.

Где встречается огибающая? Эхолот у рыбака на Обском море посылает в воду короткие пачки ультразвука – звука такого высокого, что человек его не слышит. У каждой пачки своя огибающая. Эхо возвращается, и прибор смотрит на огибающую эха: когда оно пришло и насколько сильное. На заводе так следят за подшипниками – кольцами с шариками, на которых крутится вал станка. По огибающей вибрации видно, что удары внутри нарастают, и станок чинят до поломки.

3.6. Аномалия: ищем лишнее

Сначала пойми, как выглядит нормальный ряд. Потом ищи место, где он нарушен.

Аномалия – то, что не похоже на всё остальное: одинокий скачок в ряду показаний, лишний столбик в спектре, сломанный кусочек в повторяющемся сообщении. Бывает, что это ошибка связи – в канале исказилась цифра. Бывает, что это важное событие – в моторе начал разрушаться подшипник. В обоих случаях её нужно заметить, а для этого – с чем-то сравнить.

• Выброс в ряду чисел – одинокое значение, которое резко отличается от обоих соседей. Что считать «резко», скажет условие задачи: например, «больше чем на 5». Проверяем каждое число с его левым и правым соседом. Найденный выброс можно заменить средним двух соседей.
• Лишний столбик в спектре. Сравниваем спектр «сейчас» со спектром «когда всё было исправно». Новый столбик – новая волна, и у неё есть причина. Особенно подозрительна частота, не кратная основной: у мотора или насоса, который крутится без перебоев, обертоны стоят на частотах в 2, 3, 4 раза выше основной, а чужак выбивается из этого ряда.
• Нарушенный порядок. Если маяк повторяет одно и то же сообщение, сначала находим, какой кусок повторяется, потом сверяем с ним каждую копию.

Выброс убирают до сглаживания. Скользящее среднее выброс не стирает – оно размазывает его по соседям. Ряд 2, 2, 2, 29, 2, 2, 2 окном 3 превращается в 2, 11, 11, 11, 2: одно испорченное число испортило три. Проверь сам: $(2 + 2 + 29) : 3 = 33 : 3 = 11$.

3.7. Разбираем задачи

Задача 3.1 Что гудит в ноутбуке

разминка · спектр, чтение графика

Школьники записали звук вентилятора ноутбука и построили его спектр (рисунок ниже). а) Из скольких простых волн сложен этот звук? б) Какая частота у самой сильной волны? в) У какой волны амплитуда вдвое меньше, чем у самой сильной? В ответ введи три числа через пробел: количество волн, частоту из пункта б) и частоту из пункта в) в герцах.

Дано: спектр на рисунке.
Найти: число волн; частоту самой сильной волны; частоту волны, которая вдвое слабее.

Шаг 1. Оси и сетка. По горизонтали – частота в герцах. Подписи стоят через 200 Гц, а чёрточки между ними – через 100 Гц. По вертикали – амплитуда: подписи 1, 2, 3, а линии сетки идут через 0,5.

Шаг 2. Считаем столбики. Их четыре. Каждый столбик – одна простая волна, значит, волн тоже четыре.

Шаг 3. Самая сильная волна. Выше всех столбик высотой 3, он стоит над подписью 200. Частота – 200 Гц.

Шаг 4. Вдвое слабее. Половина от 3 – это $3 : 2 = 1{,}5$. Ищем столбик, верхушка которого на полпути между линиями 1 и 2. Он стоит над подписью 400 – это 400 Гц.

Для полноты перепишем весь «рецепт»: 200 Гц – 3; 400 Гц – 1,5; 600 Гц – 1; 900 Гц – 2. Последний столбик стоит между подписями 800 и 1000, на чёрточке 900. Обратным ходом: $1{,}5 \cdot 2 = 3$ – волна 400 Гц действительно вдвое слабее волны 200 Гц.

Типичная ошибка. Перепутать оси и искать «частоту 1,5» вместо столбика высотой 1,5. Частота всегда читается внизу, под столбиком, а амплитуда – по высоте. Ещё часто приписывают последнему столбику частоту 800 или 1000 Гц: подписи у него нет, и надо досчитать чёрточки.

Ответ: 4 200 400.

Своя задача по программе сферы, модуль 3

d = [61, 57, 59, 61, 54, 56, 58, 51, 53, 52]   # показания датчика, см
k = 3                                          # ширина окна
for i in range(len(d) - k + 1):                # i – номер первого числа окна
    print(sum(d[i:i + k]) / k, end=" ")        # среднее окна

Задача 3.6 Аномалия в сообщении метеостанции

аномалия, выброс, отрицательные числа, среднее

Школьная метеостанция в Бердске каждые 10 минут передаёт по радио температуру воздуха. За два часа пришло 12 значений, в градусах Цельсия:

–14, –13, –13, –12, –12, 19, –11, –11, –10, –10, –9, –9.

Одно значение исказилось в канале связи. Аномалией считаем значение, которое отличается от каждого из двух соседей больше чем на 5 °C. а) Найди номер аномального значения (считая с 1). б) Замени его средним двух соседей. в) На сколько градусов искажённое значение завысило среднюю температуру за два часа? Округли до десятых. В ответ введи три числа через пробел.

Дано: 12 значений температуры; порог 5 °C.
Найти: номер выброса; исправленное значение; сдвиг среднего.

Шаг 1. Ищем выброс. Идём по ряду и сравниваем каждое число с соседями. Почти везде соседи отличаются на 0 или 1 градус. Выбивается шестое значение, 19. Насколько оно дальше от пятого, –12? Посмотри на уличный градусник: от –12 до нуля столбик поднимается на 12 делений, от нуля до 19 – ещё на 19. Всего $12 + 19 = 31$ градус. От седьмого значения, –11, так же выходит $11 + 19 = 30$ градусов. Оба раза больше 5 – это аномалия. А пятое значение, –12, от 19 тоже сильно отличается, но от своего левого соседа, –12, – на 0. Отличие только от одного соседа по условию аномалией не считается.

Шаг 2. Исправляем. Нужно среднее двух соседей, –12 и –11. На градуснике между ними одно деление, и середина приходится на –11,5 °C. То же по правилу: складывая два отрицательных числа, складываем их без минусов и ставим минус, $(-12) + (-11) = -23$, а $-23 : 2 = -11{,}5$.

Шаг 3. Сдвиг среднего. Среднее двенадцати значений – их сумма, делённая на 12. Одно значение ошибочно стоит 19 вместо –11,5, то есть завышено на $11{,}5 + 19 = 30{,}5$ градуса (снова по градуснику: до нуля и от нуля). Значит, и сумма завышена на 30,5 градуса. Эти лишние 30,5 делятся на 12 значений: $30{,}5 : 12 \approx 2{,}54$. После округления до десятых – 2,5 °C.

Кто уже умеет делить отрицательные числа, может проверить длинным путём. Среднее с ошибкой $-105 : 12 = -8{,}75$ °C, без ошибки $-135{,}5 : 12 \approx -11{,}29$ °C, разница те же 2,54.

Исправленное –11,5 °C хорошо встаёт в ряд: за два часа воздух медленно потеплел с –14 до –9, и в середине этого пути должно быть около –11. А плюс 19 в сибирскую зиму на десять минут посреди мороза не бывает.

Типичная ошибка. Отметить аномалией ещё и пятое или седьмое значение: «оно же сильно отличается от 19». Условие требует отличия от каждого соседа, и такое число одно. Вторая частая ошибка – потерять минус: $(-12 - 11) : 2 = 11{,}5$ вместо –11,5. Температура вокруг –12, а исправленное вышло плюсовым – сразу видно, что где-то потерялся знак.

Ответ: 6 –11,5 2,5.

По мотивам задачи заключительного этапа НТО 2025/26, профиль «Технологии беспроводной связи», «УНКС: нестабильный прием»

4.1. Код, бит и байт

Одна лампочка скажет только два слова: горит или не горит. Добавил вторую – вариантов стало четыре, третью – восемь. Каждая новая лампочка удваивает счёт.

Код – договорённость о том, какой сигнал что значит. Бабушка на даче вешает на калитку красную тряпку, когда обед готов, – это код, пусть и из одного знака. Кодирование – перевод сообщения в сигналы по договорённости, декодирование – обратный перевод на стороне приёмника. Знаки, из которых собирают код, называют алфавитом кода: у азбуки Морзе это точка и тире, у светофора – три цвета, у компьютера – 0 и 1. Цепочка знаков, которая обозначает одну букву или одну команду, – кодовое слово.

Почему компьютеру хватает двух знаков? «Есть ток» и «нет тока» легко различить даже при сильной помехе. Будь знаков десять, прибору пришлось бы отличать друг от друга десять уровней напряжения, и малейшая дрожь в проводе путала бы тройку с четвёркой. Помнишь лестницу из главы 2? У цифрового сигнала компьютера в ней всего две ступеньки.

Один знак двоичного кода – 0 или 1 – называется бит (от английского binary digit, «двоичная цифра»). Бит – самая маленькая порция информации, один ответ «да» или «нет». Восемь бит подряд – байт.

Сколько разных сообщений помещается в $n$ бит? В одном бите – два: 0 и 1. В двух – четыре: 00, 01, 10, 11. К каждому старому варианту можно приписать справа и 0, и 1, поэтому каждый новый бит удваивает число вариантов. Словами: число разных кодовых слов равно двойке, умноженной на себя столько раз, сколько бит. Буквами:

$$N = 2^n,$$

где $n$ – число бит, $N$ – сколько разных кодовых слов можно из них составить. Степени двойки полезно помнить до восьмой: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$, $2^6 = 64$, $2^7 = 128$, $2^8 = 256$. Значит, в одном байте 256 вариантов – числа от 0 до 255. Не до 256: первым вариантом идёт ноль.

В задачах вопрос часто задают наоборот: сообщений $M$ штук, сколько бит нужно на каждое? Ищем самую маленькую степень двойки, которая не меньше $M$. В английском алфавите 26 букв: $2^4 = 16$ мало, $2^5 = 32$ хватает – нужно 5 бит, и 6 кодов останутся свободными. В русском алфавите 33 буквы: $2^5 = 32$, одной букве кода не хватит, поэтому берут 6 бит. Число бит всегда округляют вверх. Код, в котором все кодовые слова одной длины, называют равномерным.

Если на каждый знак уходит $i$ бит, а знаков в сообщении $K$, всё сообщение займёт

$$I = K \cdot i \text{ бит}.$$

Слово из 12 букв кодом по 5 бит – это $12 \cdot 5 = 60$ бит.

Так компьютер хранит и текст. Все буквы, цифры и знаки выписаны в таблицу символов, у каждого там свой номер, а в память кладётся номер. В самой известной таблице, ASCII («аски»), латинская A стоит под номером 65, B – под номером 66, и дальше подряд до Z – 90. Цифра «0» в этой таблице – знак номер 48. Так что знак «0» в тексте и число 0 в памяти – для компьютера разные вещи.

Если знаков в алфавите кода больше двух, считают так же. Фонарик со стёклами трёх цветов и две вспышки подряд дают $3 \cdot 3 = 9$ разных сигналов, три вспышки – $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

4.2. Двоичная система счисления

Гиря на весах – пишем 1, гиря осталась на полу – 0. На весах 8, 4 и 1 кг, двухкилограммовая не понадобилась. Число 13 в двоичной системе – 1101.

Наши обычные числа записаны в десятичной системе: цифр десять, от 0 до 9, и у каждого места в числе свой вес. В числе 305 тройка стоит на месте сотен и значит 300, ноль – на месте десятков, пятёрка – на месте единиц: $305 = 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 \cdot 1$. Веса мест – 1, 10, 100, 1000, каждый следующий в 10 раз больше.

В двоичной системе цифр две, 0 и 1, а вес каждого следующего места вдвое больше предыдущего: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Это те самые гири с картинки. Чтобы не спутать системы, основание пишут маленькой цифрой внизу: $1101_2$ – двоичное число, $1101_{10}$ – обычное «тысяча сто один».

Из двоичной в десятичную. Подпиши над каждой цифрой её вес – справа налево, начиная с 1. Сложи веса там, где стоят единицы. У $1101_2$ справа налево веса 1, 2, 4, 8, единицы стоят под 8, 4 и 1: $8 + 4 + 1 = 13$.

Из десятичной в двоичную – гирями. Берём самую тяжёлую гирю, которая не больше числа, и вычитаем её. С остатком делаем то же самое. Число 45: гиря 32 подходит, остаётся 13; гиря 16 больше 13 – пропускаем; 8 подходит, остаётся 5; 4 подходит, остаётся 1; 2 пропускаем; 1 подходит, остаётся 0. Взяли гири 32, 8, 4 и 1. На их местах ставим единицы, на остальных нули: $45 = 101101_2$.

Из десятичной в двоичную – делением. Дели число на 2 и записывай остатки, пока частное не станет нулём. Потом читай остатки снизу вверх: последний остаток – самая левая цифра.

Снизу вверх: 1, 0, 1, 1, 0, 1 – снова $101101_2$. Почему это работает? Остаток от деления на 2 говорит, чётное число или нечётное, то есть нужна ли гиря в 1 кг. Разделили пополам – и тем же вопросом решаем про гирю в 2 кг, потом в 4 кг. Отсюда же полезное следствие: чётное число в двоичной записи кончается нулём, нечётное – единицей.

В байте всегда восемь мест. Если число короче, слева дописывают нули: 45 в байте – $00101101$. Значение от этого не меняется, как «007» – это всё те же 7. Самое большое число в байте – $11111111_2 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255$. Прибавь единицу – получится $100000000_2 = 256$, девять цифр, в байт уже не влезает. Кстати, если на пальцах считать «поднят – 1, загнут – 0», двумя руками можно досчитать до $2^{10} - 1 = 1023$.

Проверить себя поможет Python (подойдёт любой онлайн-интерпретатор) или калькулятор Windows в режиме «Программист».

print(int("00101101", 2))   # 45 – читаем строку как двоичное число
print(format(45, "08b"))    # 00101101 – пишем 45 двоичными цифрами, 8 знаков
print(bin(45))              # 0b101101 – приписку 0b в ответ не переписывай

Первая строка: int превращает строку в число, а двойка после запятой говорит, что цифры в строке двоичные. Вторая: format записывает число 45 по шаблону "08b" – b значит «двоичными цифрами», 08 – «восемь знаков, недостающие заполни нулями». Всё, что после #, – комментарий, Python его не читает.

4.3. Шестнадцатеричная система

Номер телефона тоже диктуют кусочками – так меньше шансов сбиться. Байт 10110110 режут на 1011 и 0110, и получаются две цифры: B и 6.

В шестнадцатеричной системе шестнадцать цифр. Первые десять – привычные 0–9. Для значений от 10 до 15 взяли латинские буквы: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Вес мест растёт в 16 раз: единицы, потом «шестнадцатки», потом 256. Для чисел до 255 хватает двух цифр.

Зачем она нужна, если есть двоичная? Чтобы людям было удобно читать. $16 = 2^4$, поэтому каждая шестнадцатеричная цифра заменяет четыре бита, а байт записывается двумя цифрами – от 00 до FF. Длинную цепочку 10110110 легко переписать с ошибкой, а B6 – трудно. Поэтому программисты пишут байты в шестнадцатеричной записи.

Четвёрки бит и цифры стоит выучить или держать под рукой:

Четвёрку легко восстановить и без таблицы: это двоичная запись числа от 0 до 15 с весами 8, 4, 2, 1. D = 13 = 8 + 4 + 1, значит, D – это 1101.

• Из шестнадцатеричной в двоичную: каждую цифру замени её четвёркой. $B6_{16} = 1011\,0110_2$.
• Из двоичной в шестнадцатеричную: режь на четвёрки справа налево, слева допиши нули до полной четвёрки. $101101_2 = 0010\,1101_2 = 2D_{16}$.
• Из шестнадцатеричной в десятичную: старшую (левую) цифру умножь на 16 и прибавь младшую. $B6_{16} = 11 \cdot 16 + 6 = 176 + 6 = 182$.
• Из десятичной в шестнадцатеричную: раздели на 16 с остатком. Частное – старшая цифра, остаток – младшая. $200 = 12 \cdot 16 + 8$, то есть $200 = C8_{16}$.

Где это встретится в жизни? В цвете на экране. Цвет каждой точки задают три числа от 0 до 255: сколько в нём красного (R), зелёного (G) и синего (B). Каждое число – байт, весь цвет – три байта, и в программах для рисования и на сайтах его пишут шестью шестнадцатеричными цифрами после решётки: #FF0000 – чистый красный, #FFFFFF – белый, #000000 – чёрный. Разных цветов так можно задать $2^{24} = 16\,777\,216$.

В Python: int("B6", 16) даёт 182, а format(182, "02X") – строку B6 (две цифры, большие буквы).

4.4. Скорость передачи

Каждую четверть секунды фонарик либо горит – это 1, либо нет – это 0. За 2 секунды успевают пройти 8 бит, по 4 бита в каждую секунду.

По каналу связи биты идут друг за другом, по очереди. Скорость передачи – сколько бит проходит по каналу за одну секунду. Единица – бит в секунду, бит/с. Тысяча бит в секунду – 1 кбит/с.

Время передачи считают как время в пути. Словами: время равно объёму сообщения, делённому на скорость. Буквами:

$$t = \frac{I}{v},$$

где $I$ – объём сообщения в битах, $v$ – скорость в бит/с, $t$ – время в секундах. Биты делим на биты в секунду – остаются секунды. Слово «ПРИВЕТ» – 6 букв по 8 бит, это 48 бит. При скорости 12 бит/с оно уйдёт за $48 : 12 = 4$ с.

У каждого бита есть длительность – сколько времени он занимает в канале, одна клеточка на рисунке. Её обозначают греческой буквой $\tau$ («тау»). Если за секунду проходит $v$ бит, на один бит приходится

$$\tau = \frac{1}{v} \text{ с}.$$

У фонарика с рисунка $v = 4$ бит/с и $\tau = 1 : 4 = 0{,}25$ с. Работает и в обратную сторону: бит длится 10 мс, то есть 0,01 с, – значит, скорость $1 : 0{,}01 = 100$ бит/с.

Самая коварная ловушка – биты и байты. Скорость почти всегда дают в битах в секунду, а размер сообщения – в символах или байтах. Прежде чем делить, переведи всё в биты: байты умножь на 8. И следи за приставками: 1 кбит/с = 1000 бит/с, а 1 Кбайт в школьной информатике – 1024 байта, если в условии не сказано иначе.

Часто к каждому байту передатчик добавляет свои служебные биты – например, бит чётности из следующего раздела. Их тоже надо передать, и они тоже занимают время. Байт с одним служебным битом – это 9 бит в канале, и сообщение идёт на девятую часть дольше.

4.5. Как поймать ошибку: чётность и контрольная сумма

В машинку положили три пары носков – чётное число. Достали пять: число нечётное, значит, один застрял в барабане. Какой из шести, по одному пересчёту не скажешь.

В любом канале бывают помехи: треск в эфире, солнечный зайчик на ИК-приёмнике, хлопок двери рядом с микрофоном. Иногда помеха переворачивает бит: отправили 0, пришла 1. Сам приёмник этого не видит – испорченная единица выглядит так же, как настоящая. Поэтому к сообщению добавляют несколько лишних, проверочных бит, по которым приёмник замечает неладное.

Бит чётности. Передатчик считает единицы в байте и дописывает в конец ещё один бит – такой, чтобы единиц стало чётное число. В 01001011 четыре единицы, уже чётно, дописываем 0: 010010110. В 11100000 три единицы, дописываем 1: 111000001. Приёмник считает единицы во всех девяти битах. Чётно – байт принят. Нечётно – где-то перевернулся бит, и байт просят прислать снова. Если испортится сам бит чётности, это тоже заметно: он ведь тоже входит в подсчёт.

Но какой бит испорчен, бит чётности не скажет – как и пересчёт носков. А две ошибки сразу он вообще пропустит: две перевёрнутые цифры оставляют число единиц чётным. Помехи бывают редко, и две ошибки в одном байте случаются куда реже одной, поэтому бит чётности всё равно полезен.

bajt = "001100001"          # 9 бит: 8 бит данных и бит чётности
print(bajt.count("1"))      # 3 – нечётно, значит, байт испорчен

count("1") считает, сколько раз в строке встречается единица. Дальше остаётся посмотреть, чётное ли вышло число.

Контрольная сумма. Когда передают числа, в конце можно послать ещё одно – их сумму. Приёмник сам складывает полученные числа и сравнивает результат с присланной суммой. Отправили 12, 7, 30 и сумму 49. Пришло 12, 7, 38 и 49: $12 + 7 + 38 = 57$, а в конце стоит 49. Значит, по дороге что-то испортилось.

Чтобы контрольная сумма помещалась в один байт, от суммы часто оставляют только остаток от деления на 256: сумма 300 превращается в $300 - 256 = 44$. Как считать контрольную сумму, каждый раз написано в условии задачи, и это правило нужно выполнить до последней буквы. Слабое место есть и у неё: если два числа поменялись местами, сумма не изменится, и такую ошибку проверка пропустит.

4.6. Азбука Морзе

Короткая вспышка – точка, длинная – тире. Паузы тоже часть кода: без них не понять, где кончилась одна буква и началась следующая.

Азбуку Морзе придумали почти двести лет назад для телеграфа: по проводу посылали короткие и длинные толчки тока, а на другом конце их записывали на бумажную ленту или принимали на слух. Потом той же азбукой переговаривались прожекторами с корабля на корабль и по радио.

Алфавит кода Морзе – точка и тире. Буква Е – одна точка, Т – одно тире, А – .-, О – ---. Коды всех букв и цифр – в справочнике в конце книги. Этот код неравномерный: у одних букв кодовое слово короче, у других длиннее. Самые короткие коды достались буквам, которые чаще встречаются в тексте, – так сообщение выходит короче.

Сколько кодов Морзе можно составить из одного–четырёх знаков? Из одного знака – 2, из двух – $2^2 = 4$, из трёх – 8, из четырёх – 16, всего $2 + 4 + 8 + 16 = 30$. Для 26 латинских букв хватает. В русском алфавите букв больше, поэтому Ъ и Э получили коды из пяти знаков, из пяти знаков состоят и коды цифр.

Длительности в Морзе считают в «точках»:

• точка – 1 единица времени, тире – 3;
• пауза между знаками внутри буквы – 1;
• пауза между буквами – 3, между словами – 7.

Посчитаем слово «ДА». Д – -..: тире 3, пауза 1, точка 1, пауза 1, точка 1, всего 7 единиц. Пауза между буквами – 3. А – .-: $1 + 1 + 3 = 5$. Всё слово: $7 + 3 + 5 = 15$ единиц. Если точка длится 0,2 с, «ДА» займёт $15 \cdot 0{,}2 = 3$ с.

Зачем столько внимания паузам? Приходит ... – это С? Или И (..) и Е (.)? Или три буквы Е? Без пауз не разобрать. В Морзе пауза – полноправный знак кода, хоть её и не рисуют.

4.7. Свой код без разделителей

В хорошем словаре цепочку можно разрезать только одним способом. Сделай Б коротким, 1, – и 11 читается и как В, и как ББ. С телефоном было бы так же: будь у соседа номер 11, до службы спасения 112 никто бы не дозвонился – звонок уходил бы соседу сразу после второй единицы.

Свой код придумать может каждый – нужно только договориться с тем, кто будет принимать. Проще всего равномерный код из раздела 4.1: приёмник режет сигнал на кусочки по $n$ бит, и разделители не нужны. Для четырёх команд робота хватит двух бит: ВПЕРЁД – 00, НАЗАД – 01, НАЛЕВО – 10, НАПРАВО – 11. Цепочка 001011 режется на 00, 10, 11: вперёд, налево, направо.

Неравномерный код выходит короче, если частым сообщениям дать короткие слова. Но приёмнику надо как-то понять, где кончается одно слово и начинается следующее. Помогает правило: ни одно кодовое слово не должно быть началом другого. Возьмём код А – 0, Б – 10, В – 11. Правило выполнено: 0 не начинает ни 10, ни 11, а 10 и 11 различаются уже во втором знаке. Приёмник читает биты по одному и, как только набранное совпало со словом из словаря, записывает букву и начинает новое слово. Цепочка 100110: 1 – такого слова нет, 10 – Б; 0 – А; 1, 11 – В; 0 – А. Получилось БАВА.

Проверять правило удобно с коротких слов. Возьми самое короткое кодовое слово и посмотри, не начинается ли с него какое-нибудь длинное. Потом – следующее по длине. Нашлось хоть одно такое слово – жди путаницы, как с ББ и В на картинке.

4.8. Разбираем задачи

1 1 0 0 | 0
0 0 0 0 | 0
1 0 0 1 | 1
1 1 1 0 | 1
--------+--
1 1 1 1 | 0

Задача 4.6 Телеграфист со своим почерком

азбука Морзе, длительности, время передачи

Опытный телеграфист передаёт азбуку Морзе в своём темпе. Все длительности у него всегда одинаковые, но не такие, как в справочнике. Приёмник записал его сигнал (рисунок ниже): каждая клетка – 0,1 с, закрашенная клетка – звучит тон. а) Какое слово передано? б) Сколько секунд длилась передача?

Дано: запись сигнала, 30 клеток по 0,1 с.
Найти: слово; $t$ – ?

Шаг 1. Какие бывают тоны. Считаем закрашенные клетки подряд: встречаются тоны длиной 1 клетка и 2 клетки. Короткий – точка, длинный – тире. У этого телеграфиста тире вдвое длиннее точки, а не втрое, как в справочнике. Для расшифровки это неважно: тире всё равно длиннее.

Шаг 2. Какие бывают паузы. Пустые промежутки между тонами – 1 клетка или 3 клетки. Короткая пауза разделяет знаки внутри буквы, длинная – буквы.

Шаг 3. Делим на буквы. Длинных пауз две, значит, букв три. Первая группа: короткий, длинный, короткий, короткий – .-... Вторая: короткий, короткий, длинный – ..-. Третья: длинный, длинный, длинный, короткий – ---..

Шаг 4. Ищем буквы в справочнике. .-.. – Л, ..- – У, ---. – Ч. Слово – ЛУЧ.

Шаг 5. Время. Вся запись от первого тона до последнего – 30 клеток. Пересчитаем по частям: Л – $1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8$ клеток, пауза 3, У – $1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6$, пауза 3, Ч – $2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10$. Всего $8 + 3 + 6 + 3 + 10 = 30$ клеток, это $30 \cdot 0{,}1 = 3$ с.

Выходит буква в секунду – спокойный темп, на слух такое разберёт и новичок.

Типичная ошибка. Искать по справочнику тоны «втрое длиннее точки» и не найти ни одного – а потом решить, что в записи одни точки. Длительности в Морзе – договорённость двух людей: тире длиннее точки, пауза между буквами длиннее паузы внутри буквы, остальное зависит от почерка. Вторая ошибка – считать время только по тонам и забыть паузы: 16 клеток, 1,6 с.

Ответ: а) ЛУЧ; б) 3 с.

По мотивам задачи второго отборочного этапа НТО 2025/26 (трек 8–11 классов), профиль «Технологии беспроводной связи», «Телеграф Премиум»

Задача 4.7^* Свой код для машинки

неравномерный код, декодирование без разделителей, свой алфавит кода

Юля и Миша придумали для радиоуправляемой машинки неравномерный код: ПРЯМО – 0, НАЗАД – 10, НАЛЕВО – 110, НАПРАВО – 111. а) Пришла цепочка 0010011000111. Какие команды в ней? Запиши их подряд буквами П (прямо), З (назад), Л (налево), Р (направо). б) Сколько бит заняли бы те же команды в равномерном коде и сколько бит сэкономил неравномерный? в) Миша предлагает укоротить НАПРАВО до 11. Можно ли так сделать?

Дано: П – 0, З – 10, Л – 110, Р – 111; цепочка 0010011000111.
Найти: команды; объём в равномерном коде и экономию; можно ли Р – 11.

Шаг 1. Проверяем правило. Ни одно слово не начинает другое: 0 – единственное слово на ноль, 10 отличается от 110 и 111 уже вторым знаком, а 110 и 111 – третьим. Удобно нарисовать код деревом: от каждой развилки две дороги – 0 и 1, а команды сидят только на концах веток. Если ни одна команда не стоит на середине пути к другой, код читается без разделителей.

Шаг 2. Читаем цепочку по одному биту. Набираем биты, пока не совпадёт слово из словаря:

• 0 – П;
• 0 – П;
• 1 – такого слова нет, 10 – З;
• 0 – П;
• 1, 11 – слов нет, 110 – Л;
• 0 – П;
• 0 – П;
• 1, 11, 111 – Р.

Биты закончились вместе с последним словом, лишних не осталось. Команды: ППЗПЛППР.

Шаг 3. Равномерный код. Команд 4, это $2^2$, – хватит двух бит на команду. В цепочке 8 команд: $8 \cdot 2 = 16$ бит.

Шаг 4. Экономия. В нашей цепочке 13 бит: $16 - 13 = 3$ бита. Выигрыш получился потому, что ПРЯМО – самая частая команда (5 раз из 8), и ей достался код из одного бита. Если бы машинка чаще поворачивала, неравномерный код мог бы и проиграть.

Шаг 5. Можно ли НАПРАВО – 11? Тогда 11 станет началом слова 110. Приёмник получит 110 и не поймёт: это НАЛЕВО или НАПРАВО, а потом ПРЯМО? На дереве команда Р оказалась бы на середине пути к Л. Так делать нельзя.

Типичная ошибка. Резать цепочку по два бита, как равномерный код: 00, 10, 01, 10, 00, 11 – и ещё один бит лишний. Выходит ерунда, а таких слов, как 00 или 01, в словаре вообще нет. Неравномерный код читают только по одному биту, каждый раз сверяясь со словарём.

Ответ: а) ППЗПЛППР; б) 16 бит, экономия 3 бита; в) нельзя: 11 – начало слова 110.

Своя задача по программе сферы, модуль 4

5.1. Зачем нужна модуляция

Посылка сама до другого города не доедет, её везёт грузовик. Сообщение тоже не летит само: его везёт несущая.

Команда для КиберМишки «вперёд» хранится в памяти как два бита, например 00. Но по воздуху не может полететь «ноль» или «единица». Полететь может звук – колебания воздуха – или свет. Значит, биты нужно превратить в звук или в свет так, чтобы на другом конце их можно было узнать.

Делают это так. Передатчик издаёт ровный тон одной частоты – несущую (мы познакомились с ней в главе 3). Сама по себе несущая – просто писк, сообщения в нём нет. Потом передатчик начинает менять у несущей какой-нибудь параметр в такт сообщению: для единицы – одно, для нуля – другое. Такое изменение несущей по сообщению называют модуляцией. Приёмник делает обратную работу: смотрит, как менялась несущая, и восстанавливает биты. Это демодуляция.

Зачем эта морока с несущей, почему не передать биты как есть?

• Среда пропускает не всё. Динамик и микрофон хорошо работают только в своём диапазоне частот. Слишком низкий гул маленький динамик просто не издаст. Несущую выбирают там, где канал работает лучше всего.
• Много передатчиков в одном месте. В Новосибирске десятки радиостанций, и все вещают одновременно. Каждая – на своей несущей частоте, поэтому ты крутишь ручку приёмника и выбираешь одну из них. Без несущих они слились бы в кашу.
• Шум. Приёмник, настроенный на одну частоту, всё остальное отбрасывает. Инфракрасный свет пульта от телевизора у многих моделей мигает около 38 000 раз в секунду, и приёмник в телевизоре ловит только такое мигание. Ровный свет солнца или лампы он просто не замечает.

Вспомни из главы 2: у колебания три параметра – амплитуда (размах, громкость), частота (сколько колебаний в секунду, высота тона) и фаза (сдвиг колебания во времени). Какой параметр меняем, так модуляция и называется: амплитудная (АМ), частотная (ЧМ) или фазовая. На радиоприёмнике ты видел кнопки AM и FM – это те же самые слова по-английски: amplitude modulation и frequency modulation. Фазовую в этой книге мы только называем, задач на неё не будет.

Ещё одна договорённость нужна до начала передачи. Сообщение режут по времени на одинаковые кусочки, в каждом кусочке – один бит. Время одного кусочка – длительность бита $\tau$ («тау»), ты встречал её в главе 4. Передатчик и приёмник должны знать её заранее, иначе приёмник не поймёт, где кончается один бит и начинается другой. Похоже на песню: чтобы хлопать в такт, надо знать темп.

5.2. Амплитудная модуляция: громче – тише

Частота всё время одна и та же, меняется только размах. Оранжевая линия по верхушкам – огибающая.

При амплитудной модуляции передатчик меняет громкость несущей: в кусочке с единицей тон звучит громко, в кусочке с нулём – тихо. Часто ноль передают вообще тишиной: тон есть – 1, тона нет – 0. Так в походе передают азбуку Морзе фонариком, так же в старину работал телеграф.

Приёмник читает такой сигнал так.

• Разрежь запись на кусочки длиной $\tau$, начиная с момента, когда началось сообщение. Если бит длится 10 мс, границы будут на 10, 20, 30 мс и так далее.
• В каждом кусочке посмотри на размах колебаний – на огибающую. Большой размах – 1, маленький – 0. Если сомневаешься, сравни с порогом, как в главе 2: порог ставят посередине между «громко» и «тихо».
• Выпиши биты по порядку.

Коварное место одно – одинаковые биты подряд. Три единицы подряд на графике выглядят как одна длинная громкая пачка. Приёмник не видит, где кончилась первая единица и началась вторая, он просто делит длину пачки на длительность бита:

$$\text{число бит в пачке} = \frac{\text{длительность пачки}}{\tau}.$$

Пачка тона длиной 0,3 с при $\tau = 0{,}1$ с – это $0{,}3 : 0{,}1 = 3$ единицы. Тишина длиной 0,2 с – два нуля.

Сколько колебаний несущей помещается в один бит? Частота показывает, сколько колебаний проходит за секунду, значит, за время $\tau$ их пройдёт

$$n = f \cdot \tau,$$

где $f$ – частота несущей в герцах, $\tau$ – длительность бита в секундах. Несущая 1000 Гц, бит 10 мс: сначала 10 мс переводим в секунды, это 0,01 с, потом $1000 \cdot 0{,}01 = 10$ колебаний. На графике каждая громкая или тихая пачка у такого бита будет состоять из десяти колебаний.

У АМ есть слабое место: громкость меняет не один передатчик. КиберМишка отъехал подальше – и «громко» стало тише. Между динамиком и микрофоном поставили картонную преграду – ещё тише. В классе хлопнула дверь – громко там, где передатчик молчал. Порог, который хорошо работал вблизи, вдали начинает ошибаться. На финале сферы на поле ставят преграды, и порог, подобранный без них, может подвести.

5.3. Частотная модуляция: выше – ниже тон

Как свисток с двумя нотами: тонкий писк – единица, басовитый гудок – ноль.

При частотной модуляции громкость остаётся прежней, меняется высота тона. Для единицы передатчик свистит на одной частоте, для нуля – на другой. Договариваются заранее: например, 1 – 2000 Гц, 0 – 1000 Гц. На графике кусочек с высоким тоном выглядит густым – колебания идут часто, с низким – редким.

Приёмник узнаёт частоту по периоду, как велокомпьютер из главы 2. Можно сосчитать колебания в кусочке и поделить на длительность бита:

$$f = \frac{n}{\tau}.$$

В кусочке 10 мс насчитали 6 колебаний. 10 мс = 0,01 с, частота $6 : 0{,}01 = 600$ Гц. А можно измерить период одного колебания $T$ и найти частоту как $f = 1 : T$: период 0,5 мс = 0,0005 с даёт $1 : 0{,}0005 = 2000$ Гц.

Колебания считай по верхушкам: одна верхушка – одно колебание. Если считать и верхушки, и впадины, получится вдвое больше.

Чем ЧМ лучше АМ? По дороге звук теряет громкость, высота тона остаётся прежней. КиберМишка отъехал на другой конец класса – свист стал тише, но остался таким же тонким. Шум тоже в основном меняет громкость, поэтому ЧМ сбивается реже. Платить за это приходится сложностью: приёмнику мало отличить «громко» от «тихо», он должен различать частоты.

Как место для разговора в шумной столовой: садишься подальше от окна раздачи, где гремят подносы.

Как выбрать частоты для ЧМ. В задачах проверяют четыре правила.

• Обе частоты должны попадать в диапазон, где хорошо работают и динамик, и микрофон.
• Они должны быть подальше от шума. В главе 3 мы разбирали спектр: если в кабинете гудит вентилятор на 1200 Гц, частоту 1250 Гц приёмник спутает с гулом.
• Частоты нуля и единицы должны быть подальше друг от друга, иначе приёмник их перепутает.
• Удобно, когда в одном бите помещается целое число колебаний ($n = f \cdot \tau$ – целое) и их не слишком мало. По двум-трём колебаниям частоту уверенно не узнаешь.

5.4. Канал связи: звук и инфракрасный луч

Среда – это дорога. Сигнал по ней не только едет, но и пачкается.

В главе 1 мы раскладывали канал связи на пять частей: источник, кодирующее устройство, среда, декодирующее устройство, получатель. В этой главе удобнее говорить короче: передатчик (превращает биты в модулированный сигнал), среда (то, через что сигнал идёт) и приёмник (достаёт из сигнала биты). В сфере «Кибертех» два главных канала.

Акустический канал. Передатчик – динамик или излучатель звука, среда – воздух, приёмник – микрофон. В комплекте «ТЮК-Акустика» есть излучатель и микрофоны, а КиберМишка умеет принимать звуковой сигнал. Звук обходит небольшие преграды: голос друга слышно из-за угла. Зато звук медленный, и ему мешает любой шум в комнате.

ИК-канал. Передатчик – инфракрасный светодиод, приёмник – фотоприёмник, который чувствует инфракрасный свет. Так работает пульт от телевизора. КиберМишка умеет принимать и ИК-сигнал, а для турниров есть комплект «Инфракрасный сигнал». Свет летит почти мгновенно, но через непрозрачную преграду не проходит. Нужна прямая видимость или отражение: пульт иногда срабатывает, даже если направить его в стену.

Досчитай от вспышки до грома: каждые три секунды – это примерно километр до грозы.

Задержка. Сигналу нужно время, чтобы долететь. Время равно расстоянию, делённому на скорость: $t = s : v$. Через спортзал длиной 17 м звук летит $17 : 340 = 0{,}05$ с, то есть 50 мс. Если бит длится 10 мс, за это время передатчик успеет выпустить пять бит, пока первый ещё в пути. ИК-луч те же 17 м пролетит примерно за 0,00000006 с – для наших задач это ноль.

Помехи. Всё лишнее, что попало в сигнал по дороге, – помеха, или шум (о шуме мы говорили в главе 2). Для звука это голоса, хлопки, гул вентилятора и эхо: звук отражается от стен и приходит второй раз, с опозданием, прямо поверх следующих бит. Для ИК-луча помеха – солнце и лампы, они ведь тоже светят в инфракрасном. С помехами борются по-разному. Несущую ставят туда, где шума меньше. Бит делают подлиннее. А к сообщению добавляют проверочные биты – о них в следующем разделе.

5.5. Скорость, время и надёжность

Как в классе, когда плохо слышно: просишь повторить три раза и веришь тому, что услышал два раза из трёх.

Скорость передачи и время мы уже считали в главе 4. Напомним в двух строчках: скорость $v$ – сколько бит проходит за секунду, один бит длится $\tau = 1 : v$, а сообщение из $I$ бит идёт

$$t = \frac{I}{v} = I \cdot \tau.$$

Бит 20 мс = 0,02 с – скорость $1 : 0{,}02 = 50$ бит/с. Скорость 200 бит/с – бит длится $1 : 200 = 0{,}005$ с = 5 мс.

В настоящей передаче кроме самого сообщения по каналу едут служебные биты, и в $I$ нужно сложить всё, что прозвучит или просветит.

• Стартовая метка – условная комбинация в начале, например 10101010. По ней приёмник понимает: сообщение пошло, резать запись на кусочки надо отсюда.
• Паузы между частями сообщения. Помни про забор из главы 2: между 20 частями 19 промежутков, а не 20.
• Проверочные биты – бит чётности из главы 4 или повтор, о котором ниже.

Пример. 40 бит данных, стартовая метка 8 бит, скорость 50 бит/с. Всего $40 + 8 = 48$ бит, время $48 : 50 = 0{,}96$ с. Для звука добавь ещё задержку в пути, если расстояние большое: сообщение закончит приходить на $s : v_{\text{звука}}$ позже, чем закончит звучать.

Надёжность. Идеальных каналов не бывает: помеха может превратить 0 в 1 или 1 в 0. Насколько канал плох, показывает доля ошибок – сколько бит пришло неверно из всех отправленных, в процентах:

$$\text{доля ошибок} = \frac{\text{число ошибочных бит}}{\text{число отправленных бит}} \cdot 100\ \%.$$

Чтобы её узнать, передатчик отправляет известное сообщение, а приёмник возвращает то, что получил. Два ряда сравнивают бит за битом. Из 50 бит не совпали 2 – доля ошибок $2 : 50 \cdot 100 = 4$ %.

Чем бороться с ошибками? Средства есть, но за каждое чем-то платишь.

• Бит чётности (глава 4) замечает одну ошибку в группе бит, но исправить её не может – не знает, какой бит виноват. Приёмнику остаётся попросить повторить.
• Повтор. Каждый бит отправляют три раза: 1 → 111, 0 → 000. Приёмник смотрит на тройку и выбирает то, чего в ней больше: 101 читается как 1, 001 – как 0. Это называют голосованием большинством. Одну ошибку в тройке такой способ исправляет сам, без переспрашивания. Две ошибки в одной тройке он уже пропустит: 100 прочитается как 0.
• Длиннее бит. Чем больше колебаний несущей в одном бите, тем увереннее приёмник решает, громко там или тихо, высоко или низко. Короткий щелчок помехи испортит маленький кусочек бита, остальное уцелеет.

Бесплатной надёжности не бывает. Повтор делает сообщение втрое длиннее: 40 бит данных превратятся в 120, и передача при 50 бит/с займёт $120 : 50 = 2{,}4$ с вместо 0,8 с. Бит чётности на каждые 8 бит добавит всего $40 : 8 = 5$ бит, зато только заметит ошибку. Инженер каждый раз решает по условию задачи, что ему дороже – скорость или надёжность.

5.6. Два канала сразу

Как в хоре: бас и тонкий голос поют вместе, а ты всё равно слышишь каждого по отдельности.

В задачах финала сферы сообщение передают сразу двумя каналами – звуком и ИК-лучом. Пользуются этим двумя способами. Можно послать одно и то же по обоим каналам: подвёл один – выручит второй. А можно поделить сообщение: часть бит отправить звуком, часть лучом. Тогда всё придёт быстрее, но ждать придётся тот канал, который закончит последним.

Бывает и так, что в одной комнате одновременно звучат два передатчика, каждый на своей несущей. Микрофон слышит их смесью. Приёмник строит спектр (глава 3) и смотрит столбик на частоте каждого передатчика отдельно. Столбик на 1000 Гц растёт и падает в такт битам одного передатчика, столбик на 3000 Гц – другого. Выходит два независимых канала в одном воздухе.

Громкость у передатчиков почти никогда не одинаковая: один стоит ближе к микрофону, другой дальше. Поэтому порог «громко – тихо» подбирают для каждого столбика свой.

5.7. Разбираем задачи

Задача 5.1 Громко и тихо

разминка · амплитудная модуляция, чтение графика, длительность бита

Передатчик «ТЮК-Акустики» отправил КиберМишке 8 бит амплитудной модуляцией: громкий тон – 1, тихий – 0. Несущая – 1000 Гц, каждый бит длится 10 мс, сообщение началось в момент 0. На рисунке – запись с микрофона. Расшифруй сообщение. В ответ введи 8 цифр подряд.

Дано: АМ, громко – 1, тихо – 0; $f = 1000$ Гц; $\tau = 10$ мс; 8 бит.
Найти: биты – ?

Шаг 1. Где границы бит. Каждый бит длится 10 мс, первый начался в 0. Значит, кусочки такие: 0–10 мс, 10–20 мс, …, 70–80 мс. На рисунке их уже отделяет пунктир – восемь кусочков, как и бит.

Шаг 2. Какой размах считать громким. В записи встречаются колебания двух размеров: до 1 и до 0,25. Большой размах – громко, маленький – тихо. Порог можно поставить посередине, около 0,6: всё, что выше, – единица.

Шаг 3. Читаем по кусочкам.

Таблица 5.2

Кусочек	Время, мс	Размах	Бит
1	0–10	1	1
2	10–20	0,25	0
3	20–30	0,25	0
4	30–40	1	1
5	40–50	1	1
6	50–60	0,25	0
7	60–70	1	1
8	70–80	0,25	0

Шаг 4. Сколько колебаний в одном бите. Для проверки: $\tau = 10$ мс $= 0{,}01$ с, $n = 1000 \cdot 0{,}01 = 10$. Посчитай верхушки в первом кусочке – их 10. Рисунок и условие друг другу не противоречат, границы бит мы провели правильно.

Типичная ошибка. Записать тихие кусочки единицами: «там же есть колебания, значит, что-то передаётся». В этой задаче тихо – это ноль. Тишина вместо тихого тона бывает в других задачах, и там ноль узнать ещё проще. Вторая ошибка – прочитать 30–50 мс как одну единицу, потому что громкая пачка сплошная. Она длится 20 мс, это два бита.

Ответ: 10011010.

Своя задача по программе сферы, модуль 4

Задача 5.2 Команды для КиберМишки

амплитудная модуляция, тон есть или нет, длинные пачки, скорость передачи

КиберМишке передают команды звуком: тон есть – 1, тишина – 0, скорость 100 бит/с. Каждая команда – два бита:

Таблица 5.3

Биты	00	01	10	11
Команда	вперёд	назад	налево	направо

Запись с микрофона – на рисунке. Колебаний несущей так много, что на графике они слились в сплошные полосы. Передача началась в момент 0 и длилась 120 мс. Какие биты получил Мишка и сколько раз он повернёт направо? В ответ введи биты одной строкой и число поворотов направо через пробел.

Дано: тон – 1, тишина – 0; $v = 100$ бит/с; запись 0–120 мс; команды по 2 бита.
Найти: биты; сколько раз «направо».

Шаг 1. Длительность бита. $\tau = 1 : v = 1 : 100 = 0{,}01$ с. Переводим в миллисекунды: 0,01 с = 10 мс. Проверим общую длину: 120 мс : 10 мс = 12 бит – это как раз шесть команд по два бита.

Шаг 2. Пачки и паузы по графику. Читаем, где начинается и кончается каждая полоса. Маленькие засечки на оси – через 10 мс.

• 0–20 мс – тон, 20 мс;
• 20–50 мс – тишина, 30 мс;
• 50–90 мс – тон, 40 мс;
• 90–120 мс – тишина, 30 мс.

Шаг 3. Сколько бит в каждой пачке. Делим длительность на 10 мс:

• тон 20 мс → $20 : 10 = 2$ единицы: 11;
• тишина 30 мс → 3 нуля: 000;
• тон 40 мс → 4 единицы: 1111;
• тишина 30 мс → 3 нуля: 000.

Вместе: 11 000 1111 000 → 110001111000. Бит $2 + 3 + 4 + 3 = 12$, как и насчитали в шаге 1.

Шаг 4. Режем на команды по два бита. 11 | 00 | 01 | 11 | 10 | 00 → направо, вперёд, назад, направо, налево, вперёд. Направо Мишка повернёт 2 раза.

Проверим кодом. Строки после # – пояснения, Python их не читает.

pachki = [("1", 20), ("0", 30), ("1", 40), ("0", 30)]  # (что звучало, сколько мс)
tau = 1000 / 100                   # длительность бита в мс: 10.0
bity = ""
for znak, dlit in pachki:          # берём пачки по очереди
    bity = bity + znak * round(dlit / tau)   # "1" * 2 = "11"
print(bity)                        # 110001111000
komandy = {"00": "вперёд", "01": "назад", "10": "налево", "11": "направо"}
napravo = 0
for i in range(0, len(bity), 2):   # i = 0, 2, 4, ... – начало каждой команды
    kom = komandy[bity[i:i + 2]]   # два бита -> слово из таблицы
    print(kom)
    if kom == "направо":
        napravo = napravo + 1
print(napravo)                     # 2

В первой строке – список пачек: каждая пачка записана парой «какой бит – сколько миллисекунд». Первый цикл for проходит по пачкам, делит длительность на $\tau$ и столько раз повторяет символ: в Python "1" * 2 даёт "11". Словарь komandy хранит таблицу из условия: по двум битам он выдаёт слово. Второй цикл шагает по строке через два символа, range(0, len(bity), 2) даёт номера 0, 2, 4 и так до 10. Запись bity[i:i + 2] вырезает два символа, начиная с номера i. Если команда оказалась «направо», счётчик napravo растёт на один.

Типичная ошибка. Считать каждую пачку одним битом и записать 1010. Получится 4 бита вместо 12, и команд выйдет две вместо шести. Приёмник не видит границ между одинаковыми битами, он знает только длительность пачки. Вторая ловушка – прочитать край второй пачки как 80 или 100 мс. Он стоит посередине между подписями 80 и 100, у засечки 90.

Ответ: 110001111000 2.

Своя задача по программе сферы, модуль 9

Задача 5.3 Высокий и низкий

частотная модуляция, частота по числу колебаний, перевод мс в с

Передатчик отправил 6 бит частотной модуляцией. Какой частотой передаётся единица, а какой ноль, в условии не сказано. Известно только, что частоты две, единица – более высокий тон, а каждый бит длится 10 мс. Запись – на рисунке. Найди частоту нуля, частоту единицы и само сообщение. В ответ введи через пробел частоту нуля в герцах, частоту единицы в герцах и 6 бит.

Дано: ЧМ, 6 бит; $\tau = 10$ мс; выше тон – 1.
Найти: $f_0$, $f_1$ – ?; биты – ?

Шаг 1. Считаем колебания в кусочках. Одно колебание – одна верхушка. Идём по кусочкам между пунктирами:

Таблица 5.4

Кусочек, мс	Верхушек
0–10	3
10–20	6
20–30	6
30–40	3
40–50	6
50–60	3

Встречаются только два числа, 3 и 6, – значит, частот в сообщении и правда две.

Шаг 2. Переводим миллисекунды в секунды. $\tau = 10$ мс $= 10 : 1000 = 0{,}01$ с.

Шаг 3. Частоты. $f = n : \tau$. Три колебания: $3 : 0{,}01 = 300$ Гц. Шесть колебаний: $6 : 0{,}01 = 600$ Гц.

Шаг 4. Какая частота – единица. По условию единица – более высокий тон, то есть 600 Гц. Ноль – 300 Гц.

Шаг 5. Биты. 3 → 0, 6 → 1, 6 → 1, 3 → 0, 6 → 1, 3 → 0. Сообщение 011010.

Обе частоты человек слышит без труда. 600 Гц вдвое больше 300 Гц – музыкант сказал бы, что тоны отличаются на октаву, как «до» и следующее «до» на пианино.

Типичная ошибка. Разделить число колебаний на 10, не переведя миллисекунды: $6 : 10 = 0{,}6$ Гц. Такой медленный «звук» – одно колебание почти за две секунды – человек не услышит, и это сразу выдаёт ошибку. Ещё одна ловушка – считать и верхушки, и впадины: выйдет 6 и 12, а частоты удвоятся до 600 и 1200 Гц.

Ответ: 300 600 011010.

Своя задача по программе сферы, модуль 4

Задача 5.4 Выбираем частоты

выбор частот, спектр шума, целое число колебаний

Команда готовит ЧМ-передачу звуком в кабинете. Условия такие.

• Динамик и микрофон хорошо работают от 500 до 5000 Гц.
• Спектр шума в кабинете – на рисунке. Частота передачи должна отстоять от каждого пика шума не меньше чем на 200 Гц.
• Бит длится 10 мс. В бите должно помещаться целое число колебаний, и не меньше 10.

Из списка частот 1) 450 Гц; 2) 1250 Гц; 3) 1800 Гц; 4) 2900 Гц; 5) 3600 Гц; 6) 4200 Гц; 7) 700 Гц; 8) 5500 Гц: а) выбери все, которые подходят; б) из подходящих выбери пару для нуля и единицы с самой большой разницей частот. В ответ введи через пробел два числа: номера из пункта а) по возрастанию, слитно, и два номера пары из пункта б) по возрастанию, тоже слитно. Например, если бы подошли номера 1, 2 и 7, а парой были 1 и 7, ответ был бы «127 17».

Дано: диапазон 500–5000 Гц; пики шума 150, 1200, 3000 Гц; отступ от шума $\geq 200$ Гц; $\tau = 10$ мс; $n = f \cdot \tau$ – целое, $n \geq 10$.
Найти: подходящие частоты; пару с наибольшей разницей.

Шаг 1. Диапазон. Отбрасываем то, что ниже 500 Гц или выше 5000 Гц: 1) 450 Гц и 8) 5500 Гц. Остаются 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Шаг 2. Колебаний в бите. $\tau = 10$ мс $= 0{,}01$ с, $n = f \cdot 0{,}01$, то есть частоту делим на 100:

• 2. 1250 Гц → 12,5 – не целое, не подходит;
• 3. 1800 Гц → 18;
• 4. 2900 Гц → 29;
• 5. 3600 Гц → 36;
• 6. 4200 Гц → 42;
• 7. 700 Гц → 7 – меньше 10, не подходит.

Остаются 3, 4, 5, 6.

Шаг 3. Шум. Для каждой частоты находим расстояние до ближайшего пика шума. Пик 150 Гц лежит вне диапазона, но проверить его не вредно.

• 3. 1800 Гц: до 1200 – 600 Гц, до 3000 – 1200 Гц. Подходит.
• 4. 2900 Гц: до 3000 – всего 100 Гц. Не подходит – шум её заглушит.
• 5. 3600 Гц: до 3000 – 600 Гц. Подходит.
• 6. 4200 Гц: до 3000 – 1200 Гц. Подходит.

Ответ пункта а): 3, 5, 6.

Шаг 4. Пара с наибольшей разницей. Возможные пары: 1800 и 3600 – разница 1800 Гц; 1800 и 4200 – 2400 Гц; 3600 и 4200 – 600 Гц. Больше всего у пары 3 и 6. Номера пары слитно по возрастанию – 36.

1800 и 4200 Гц отличаются больше чем вдвое, на слух это совсем разные писки – приёмник их точно не спутает.

Типичная ошибка. Проверить только одно правило и остановиться. Частота 2900 Гц проходит и по диапазону, и по колебаниям (29 – целое), поэтому её часто берут. Но она стоит вплотную к пику шума 3000 Гц. Условий три – проверять нужно все три для каждой частоты.

Ответ: 356 36.

Своя задача по программе сферы, модуль 11

otpr = ["10110010011101001011", "01101110100011010110",
        "11100101001101110001", "00111010110010011101"]
vern = ["10111010011101001011", "00001110100011010100",
        "11100101001101110001", "00111011100010011101"]
vsego = 0
for nomer in range(4):                 # датчики 0, 1, 2, 3
    oshibki = 0
    for k in range(20):                # места 0 ... 19 в строке
        if otpr[nomer][k] != vern[nomer][k]:
            oshibki = oshibki + 1
    vsego = vsego + oshibki
    print(nomer + 1, oshibki, oshibki / 20 * 100)   # номер, ошибки, %
print(vsego / 80 * 100)                              # 7.5