1.1. Солнечная система: планеты по порядку

Если уменьшить Солнце до футбольного мяча, Земля станет крупинкой пшена на другом конце спортзала. Космос почти весь – пустота.

Солнечная система – это Солнце и всё, что вокруг него кружит: восемь планет, их спутники, карликовые планеты, астероиды и кометы. Солнце – звезда, и весит оно в сотни раз больше, чем всё остальное вместе: на него приходится больше 99 % массы системы.

Планеты по порядку от Солнца: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. Восемь названий подряд легко перепутать, поэтому их запоминают по первым буквам фразы: «Мы Все Знаем: Моя Юная Сестра Умеет Нырять».

Планеты делятся на две группы:

• Планеты земной группы – Меркурий, Венера, Земля, Марс. Маленькие, каменные, с твёрдой поверхностью – на неё можно посадить аппарат.
• Планеты-гиганты – Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. Огромные, в основном из водорода и гелия, твёрдой поверхности, на которую можно сесть, у них нет. Юпитер и Сатурн называют газовыми гигантами, Уран и Нептун – ледяными гигантами. У всех четырёх гигантов есть кольца, просто у Сатурна они самые яркие.

Расстояния в Солнечной системе удобно мерить в астрономических единицах (а.е.). 1 а.е. – это среднее расстояние от Земли до Солнца, около 150 миллионов км.

«Визитки» планет – то, по чему их узнают в задачах:

• Меркурий – самая маленькая планета и самая близкая к Солнцу. Год на нём длится 88 земных суток. Днём около +430 °C, ночью около −180 °C.
• Венера – самая горячая планета: около +460 °C, хотя она дальше от Солнца, чем Меркурий. Атмосфера очень плотная, из углекислого газа, облака – из серной кислоты, давление в 92 раза больше земного. Вращается в обратную сторону, и очень медленно: один оборот вокруг своей оси (243 земных дня) длится дольше, чем оборот вокруг Солнца (225 дней).
• Земля – единственная планета с жидкой водой на поверхности и жизнью. Один спутник – Луна.
• Марс – красный из-за оксидов железа («ржавчины») в грунте. Атмосфера очень разреженная: давление меньше 1 % земного. Гора Олимп высотой около 22 км – самая высокая гора на планетах Солнечной системы. Два маленьких спутника – Фобос и Деймос.
• Юпитер – самая большая планета. Большое красное пятно – вихрь больше Земли. Сутки около 10 часов – короче, чем у всех планет.
• Сатурн – яркие кольца изо льда и камней. Средняя плотность (0,69 г/см³) меньше, чем у воды.
• Уран – голубой цвет ему даёт метан в атмосфере. Вращается «лёжа на боку»: ось наклонена на 98°. Первая планета, открытая в телескоп (Уильям Гершель, 1781 год).
• Нептун – самая далёкая планета, на нём самые сильные ветры в Солнечной системе. Открыт в 1846 году «на кончике пера»: сначала учёные вычислили, где он должен быть, и потом нашли его там в телескоп.

Про спутники планет: у Меркурия и Венеры спутников нет совсем, у Земли – один, у Марса – два. У гигантов их десятки: у Юпитера и Сатурна больше чем по 90, и астрономы почти каждый год находят новые мелкие. Точное число спутников гиганта меняется, поэтому в хорошей задаче его не спросят. А вот «у кого спутников нет» – вопрос с твёрдым ответом.

Карликовые планеты. В 2006 году Международный астрономический союз договорился, что планета – это тело, которое обращается вокруг Солнца, настолько массивное, что собственная тяжесть сделала его круглым, и вдобавок «расчистило» свою орбиту – рядом с ним нет других тел сравнимого размера. Если тело круглое и кружит вокруг Солнца, а орбиту не расчистило, – это карликовая планета. Так Плутон перестал считаться девятой планетой. Сейчас карликовых планет пять: Церера (самое крупное тело пояса астероидов между Марсом и Юпитером), Плутон, Эрида, Хаумеа и Макемаке (все четыре – далеко за Нептуном). К Плутону в 2015 году впервые долетел американский аппарат New Horizons («Новые горизонты»).

1.2. Спутники планет: семь «личностей»

Спутник кружит вокруг планеты, а вместе они – вокруг Солнца.

Спутник – тело, которое обращается вокруг планеты. Большинство спутников – ничем не примечательные глыбы камня и льда. Но у некоторых есть яркая «визитка», и про них задачи составлять интереснее всего. Наша Луна, кстати, всего лишь пятая по размеру: её обгоняют Ганимед, Титан, Каллисто и Ио.

• Луна всегда повёрнута к Земле одной стороной. Атмосферы нет. Единственное тело, где побывали люди. Среднее расстояние до Земли – около 384 400 км.
• Ио – самое вулканически активное тело Солнечной системы: сотни вулканов, выбросы серы, жёлто-оранжевая поверхность.
• Европа – гладкая ледяная кора в трещинах. Учёные считают, что под ней океан жидкой воды. В 2024 году к ней отправили американский аппарат Europa Clipper.
• Ганимед – самый большой спутник Солнечной системы, больше планеты Меркурий. Единственный спутник, у которого есть собственное магнитное поле.
• Каллисто – древняя поверхность, сплошь покрытая кратерами.
• Титан – второй по размеру спутник, тоже больше Меркурия. Единственный спутник с плотной атмосферой (в основном азот, давление у поверхности примерно в 1,5 раза больше земного). На нём озёра из жидкого метана. В 2005 году на Титан сел европейский зонд «Гюйгенс».
• Энцелад – маленький ледяной шар. У южного полюса из трещин бьют струи водяного пара и льда – их сфотографировал аппарат «Кассини».

Ио, Европу, Ганимед и Каллисто открыл Галилео Галилей в 1610 году, поэтому их называют галилеевыми спутниками.

1.3. Кометы, астероиды и метеориты

Комета – грязный снежок. У Солнца он подтаивает, а солнечный ветер сдувает пар в сторону, как ветер – дым от костра.

Комета – небольшое тело изо льда и пыли, «грязный снежок» размером обычно в несколько километров. Это ядро кометы. Пока комета далеко от Солнца, она тёмная и холодная, хвоста у неё нет. Когда она подлетает к Солнцу, лёд нагревается и испаряется, газ и пыль уходят с ядра. Вокруг ядра появляется светящееся облако – кома – и хвост, который может тянуться на десятки миллионов километров. Пыль в хвосте светится отражённым солнечным светом, газ светится под действием солнечного излучения. Ничего в хвосте не горит.

Почему хвост направлен от Солнца. От Солнца во все стороны летит поток частиц – солнечный ветер, а солнечный свет слегка давит на пылинки. Вместе они и сдувают газ и пыль прочь от Солнца. Поэтому хвост кометы всегда направлен от Солнца, а куда летит сама комета – ему всё равно. Когда комета летит к Солнцу, хвост тянется позади неё. Когда она обогнула Солнце и улетает прочь, хвост направлен вперёд – комета летит «хвостом вперёд».

Какие бывают орбиты комет. Орбита – это путь тела вокруг Солнца.

• Эллипс – замкнутая вытянутая орбита, похожая на обруч, если смотреть на него наискосок. Такая комета возвращается снова и снова, её называют периодической. Знаменитая комета Галлея возвращается примерно раз в 76 лет; последний раз она была у Солнца в 1986 году, следующий – в 2061 году.
• Парабола и гипербола – незамкнутые орбиты. Комета пролетает мимо Солнца один раз и уходит навсегда.

Самая близкая к Солнцу точка орбиты называется перигелий, самая далёкая (у эллипса) – афелий.

В 2019 году крымский астроном-любитель Геннадий Борисов открыл комету, которая прилетела к нам из межзвёздного пространства и летит по гиперболе: её назвали 2I/Борисов. Это первая известная межзвёздная комета.

Кометы изучали и вблизи. Советские станции «Вега-1» и «Вега-2» в 1986 году пролетели рядом с кометой Галлея и сфотографировали её ядро. Европейский аппарат «Розетта» в 2014 году вышел на орбиту вокруг кометы Чурюмова – Герасименко (её открыли советские астрономы в 1969 году) и сбросил на её ядро посадочный модуль «Филы».

Астероиды – каменные или железные тела без хвоста. Больше всего их в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Японские аппараты «Хаябуса» и «Хаябуса-2» и американский OSIRIS-REx привезли на Землю частицы астероидов.

Три похожих слова:

• метеороид – маленькое тело в космосе (камешек, пылинка);
• метеор («падающая звезда») – вспышка в небе, когда такое тело сгорает в атмосфере; в середине августа, во время звездопада Персеиды, на даче вдали от городских фонарей за час можно насчитать десятки метеоров;
• метеорит – то, что долетело до земли и упало. Например, Челябинский метеорит 15 февраля 2013 года.

1.4. История космонавтики: главные вехи

Космос осваивали по ступенькам: сначала долететь, потом сфотографировать, потом сесть, потом вернуться с добычей.

Разработчики сферы на вебинаре просили: знайте отечественную космонавтику дальше Гагарина – Королёва, Леонова, первые автоматические станции. Ниже – минимум, который стоит держать в голове. Остальное за минуту находится поиском.

Люди.

• Константин Эдуардович Циолковский (1857–1935) – учитель из Калуги, с детства плохо слышал. В 1903 году опубликовал работу «Исследование мировых пространств реактивными приборами», где показал, что в космос можно полететь на ракете. Придумал многоступенчатые ракеты («ракетные поезда») и космические станции.
• Юрий Васильевич Кондратюк (1897–1942) – изобретатель-самоучка, жил и работал в Новосибирске. В 1929 году на собственные деньги издал здесь книгу «Завоевание межпланетных пространств». В ней он предложил способ полёта на Луну: корабль выходит на орбиту вокруг Луны, а вниз спускается только маленький посадочный отсек. Похожую схему через сорок лет использовали американские «Аполлоны».
• Сергей Павлович Королёв (1907–1966) – главный конструктор. Под его руководством создали ракету Р-7, первый спутник, корабль «Восток» и многое другое.
• Юрий Алексеевич Гагарин – первый человек в космосе: 12 апреля 1961 года, корабль «Восток», один виток вокруг Земли за 108 минут. Сказал на старте: «Поехали!»
• Валентина Владимировна Терешкова – первая женщина в космосе: 16 июня 1963 года, корабль «Восток-6», почти трое суток полёта.
• Алексей Архипович Леонов – первый выход в открытый космос: 18 марта 1965 года, корабль «Восход-2», около 12 минут за бортом. Родом почти наш сосед – из села Листвянка в Кузбассе.
• Валерий Владимирович Поляков – самый долгий полёт в одной экспедиции: 437 суток на станции «Мир» (1994–1995).

Первые автоматические аппараты и станции (СССР и Россия).

Подробнее о некоторых из них:

• «Спутник-1» – шар диаметром 58 см, масса 83,6 кг, четыре антенны, передавал радиосигнал «бип-бип». Его запустила ракета Р-7 с Байконура.
• «Спутник-2» увёз на орбиту собаку Лайку; вернуть её на Землю не могли. Белка и Стрелка на «Спутнике-5» – первые животные, вернувшиеся с орбиты живыми.
• «Луна-2» врезалась в поверхность Луны – так и задумывалось.
• «Луна-9» передала и первые снимки с поверхности Луны.
• «Луна-16» – первый автомат, доставивший лунный грунт на Землю (101 г).
• «Луноход-1» управляли с Земли. Он проработал на Луне почти 10 месяцев и проехал около 10,5 км.
• «Венера-7» – первая мягкая посадка на другую планету и первая передача данных с её поверхности.
• «Буран» слетал в космос один раз, без экипажа, и сам сел на аэродром.
• МКС – Международная космическая станция; её сборка началась с российского модуля «Заря».
• «Союз» летает дольше всех пилотируемых кораблей в истории. Сейчас он возит экипажи на МКС, а грузы возит его «родственник» – грузовой корабль «Прогресс».
• «Спектр-РГ» – российско-германская обсерватория с рентгеновскими телескопами; работает в 1,5 млн км от Земли.

Про «Венеры» стоит знать чуть больше. Сесть на планету, где +460 °C и давление как на глубине почти километр в океане, – задача на грани возможного, и советские станции её решили: «Венера-7» впервые передала данные с поверхности, «Венера-9» (1975) – первые снимки поверхности Венеры, «Венера-13» (1982) – цветные снимки.

Главные зарубежные вехи.

• «Аполлон-8» облетел Луну, не садясь на неё.
• «Аполлон-11» – Нил Армстронг и Базз Олдрин, первые люди на Луне. Всего на Луне с 1969 по 1972 год побывали 12 человек.
• «Союз» – «Аполлон» – первая стыковка кораблей двух стран, СССР и США.
• «Вояджер-2» – единственный аппарат, побывавший у Урана (1986) и Нептуна (1989). «Вояджер-1» в 2012 году вышел в межзвёздное пространство, это самый далёкий от Земли аппарат.
• «Хаябуса» доставила на Землю частицы астероида Итокава.
• С Perseverance прилетел вертолёт Ingenuity – первый полёт летательного аппарата с двигателем на другой планете.
• «Чанъэ-4» – первая мягкая посадка на обратную сторону Луны.

Первый марсоход, который реально ездил по Марсу, – маленький американский Sojourner (1997). А первая мягкая посадка на Марс – у советской станции «Марс-3» (1971), но связь с ней прервалась через несколько секунд.

1.5. Какие бывают космические аппараты

Спутник связи облетает Землю за то же время, за которое Земля делает один оборот. Поэтому он «висит» в одной точке неба, и тарелку наводят один раз и навсегда.

Космический аппарат (КА) – всё, что человек отправил в космос и что там работает: спутник, станция, корабль, зонд. В задачах КА часто описывают загадкой, а тебе нужно угадать тип. Главные подсказки – на какой высоте аппарат летает и чем занят.

На геостационарной орбите спутник делает оборот за те же 23 ч 56 мин, что и Земля, и поэтому «висит» над одной точкой экватора. Спутник ДЗЗ не только фотографирует Землю, но и «прощупывает» её из космоса разными приборами.

ГЛОНАСС – российская глобальная навигационная система: не меньше 24 рабочих спутников на высоте около 19 100 км в трёх плоскостях. Когда приложение показывает, где сейчас едет твой автобус, навигатор в автобусе ловит сигналы сразу нескольких таких спутников. Чтобы определить координаты, ему нужны сигналы как минимум четырёх одновременно.

Малые спутники. Сейчас много совсем маленьких спутников – например, кубсатов (CubeSat): базовый кубик имеет размер 10 × 10 × 10 см. Их строят студенты и даже школьники. На финале сферы «Космотех» ты будешь работать с учебным пикоспутником – ещё меньше. Любой космический аппарат, даже маленький, состоит из похожих систем. В курсе их пять: система управления (СУ) – «мозг», бортовой компьютер; система ориентации и стабилизации (СОС) – держит аппарат нужной стороной к Солнцу, Земле или цели; система терморегулирования (СТР) – следит, чтобы аппарат не перегрелся на свету (там до 150 °C) и не замёрз в тени; система электропитания (СЭП) – солнечные батареи и аккумуляторы; бортовой радиокомплекс (БРК) – радиосвязь с Землёй. Кроме них есть полезная нагрузка – то, ради чего аппарат запустили (камера, датчик, передатчик). Подробно про системы спутника – в главе 8, про орбиты – в главе 4.

1.6. Как решать задачи на эрудицию

Наизусть диаметр Каллисто не помнит никто, и не нужно. В заданиях прошлых лет прямо говорилось, что надо уметь искать информацию и разбираться с найденным. Действуй так.

1. Прочитай формат. «Выбери все верные» – верных может быть сколько угодно, в том числе все или один. «Таблица» – в строке может не быть ни одной галочки. «Сопоставь» – если подходят несколько пар, выбирай самое точное соответствие.
2. Отметь, что знаешь точно. Обычно это половина пунктов.
3. Проверь остальное поиском. Пиши короткий запрос: «Титан диаметр км», «Луна-9 дата посадки», «Хаябуса-2 астероид». Смотри карточку в начале статьи Википедии – там собраны размеры, даты и принадлежность. Для важных чисел загляни во второй источник (сайты NASA, Роскосмоса).
4. Сравнивай одинаковое с одинаковым. Диаметр с диаметром (не радиус с диаметром), дату посадки с датой посадки (не с датой запуска). Размеры в разных источниках могут чуть отличаться (средний диаметр и экваториальный) – для упорядочивания это обычно не важно, а если числа очень близки, возьми их из одного источника.
5. Проверь слова-ловушки: «всегда», «только», «единственный», «первый». Одно исключение делает такое утверждение ложным.

1.7. Разбираем задачи

2.1. Масса, сила тяжести и вес

Картошки в мешке столько же – это масса. А тянет его Луна в 6 раз слабее – это сила тяжести.

Масса – это «сколько вещества» в теле. Измеряют её в килограммах (кг). Мешок картошки с дачи – 30 кг и на Земле, и на Луне, и на МКС: картофелин в нём не убавилось. Ещё масса говорит, насколько тело трудно разогнать или остановить. Пустые санки сдвинешь одним пальцем, а санки с младшим братом – уже с усилием.

Сила – это то, что толкает или тянет тело: меняет его скорость или сжимает, растягивает. Силу измеряют в ньютонах (Н). Чтобы почувствовать 1 ньютон, положи на ладонь яблоко массой 100 г: примерно с такой силой оно давит на руку.

Сила тяжести – сила, с которой Земля (или другая планета) притягивает тело. Она направлена вниз, к центру планеты, и считается так:

$$F = m \cdot g,$$

где $m$ – масса в килограммах, а $g$ – ускорение свободного падения. У поверхности Земли $g = 9{,}8$ м/с². Что значит это число, разберём в разделе 2.2, а пока запомни: на каждый килограмм массы Земля тянет с силой 9,8 Н.

Пример. Тот самый мешок картошки: $F = 30 \cdot 9{,}8 = 294$ Н. Космонавт массой 70 кг: $F = 70 \cdot 9{,}8 = 686$ Н.

На других планетах $g$ другое: на Луне примерно в 6 раз меньше, на Марсе – примерно в 2,6 раза меньше. Если такое число нужно в задаче, его дают в условии.

Вес – это сила, с которой тело давит на опору (стол, пол, кресло) или тянет подвес (нитку, крючок). Вес тоже измеряют в ньютонах. Это не то же самое, что сила тяжести: сила тяжести приложена к телу и тянет его вниз, а вес приложен к опоре. Когда ящик спокойно лежит на столе, стол давит на ящик вверх (эта сила называется силой опоры $N$), ящик давит на стол вниз (это вес $P$), и все три силы равны: $N = P = m \cdot g$.

А если стол выдернуть? Ящик полетит вниз, опоры нет – давить не на что. Сила тяжести осталась прежней, а вес стал равен нулю. Такое состояние называют невесомостью, к нему вернёмся в разделе 2.4.

Весы в магазине на самом деле измеряют вес – силу, с которой на них давят. Но показывают килограммы: весы делят силу на 9,8. На Земле, в покое, это и есть масса. На Луне те же весы соврут – покажут примерно в 6 раз меньше.

2.2. Скорость и ускорение

Каждую секунду автобус едет на 2 м/с быстрее. Эта прибавка за секунду и есть ускорение.

Скорость – какой путь тело проходит за единицу времени, например за секунду или за час. Автобус проехал за час 60 км – его скорость 60 км/ч. Формулой:

$$v = \frac{s}{t},$$

где $s$ – путь, $t$ – время. Если $s$ в метрах, а $t$ в секундах, скорость получится в м/с; километры и секунды дают км/с. Отсюда же $s = v \cdot t$ и $t = s / v$.

Скорость говорит, как быстро ты едешь. Ускорение говорит, как быстро меняется сама скорость: на сколько м/с она вырастает (или падает) за каждую секунду.

$$a = \frac{\Delta v}{t},$$

где $\Delta v$ («дельта вэ») – изменение скорости: конечная скорость минус начальная, $t$ – за сколько секунд это произошло. Единица ускорения – м/с² («метр в секунду за секунду»).

Пример. Ракета за 10 с разогналась с 0 до 200 м/с. Скорость выросла на $\Delta v = 200 - 0 = 200$ м/с, ускорение $a = 200 / 10 = 20$ м/с²: каждую секунду скорость прибавляет 20 м/с.

Теперь понятно, что такое $g = 9{,}8$ м/с². Если бросить камень и не мешать ему (не считаем воздух), его скорость каждую секунду вырастает на 9,8 м/с: через 1 с – 9,8 м/с, через 2 с – 19,6 м/с, через 3 с – 29,4 м/с. Такое падение, когда на тело действует только сила тяжести, называют свободным падением. Камень, подброшенный вверх, тоже падает свободно: пока летит вверх, каждую секунду теряет 9,8 м/с скорости, а потом так же набирает её вниз.

2.3. Инерция, законы Ньютона и реактивное движение

Толкнул папу – и сам покатился назад. Ты вдвое легче, поэтому едешь вдвое быстрее.

Инерция – свойство тел сохранять свою скорость. Сама по себе скорость не меняется: чтобы разогнать, затормозить или повернуть тело, нужна сила. Больше трёхсот лет назад англичанин Исаак Ньютон уложил это в три закона. Вот они своими словами.

Первый закон (закон инерции). Если силы на тело не действуют или уравновешивают друг друга, тело стоит на месте или летит прямо с той же скоростью. Автобус резко тормозит – тебя бросает вперёд: никто тебя не толкал, просто ты продолжаешь ехать, а автобус под тобой останавливается. Космический зонд, выключив двигатели, летит дальше миллионы километров – в пустоте его ничто не тормозит.

Второй закон. Чем больше сила, тем больше ускорение; чем больше масса, тем меньше ускорение:

$$a = \frac{F}{m}.$$

Одной и той же силой пустую тележку в магазине разогнать легко, а гружёную – трудно. Теперь вспомни про силу тяжести. Камень вдвое тяжелее – Земля тянет его вдвое сильнее, но и разогнать его вдвое труднее. Одно гасит другое, и ускорение у всех тел выходит одно и то же – $g$. Поэтому без воздуха все тела падают одинаково быстро, тяжёлые и лёгкие. В 1971 году астронавт экспедиции «Аполлон-15» проверил это на Луне: разжал руки с молотком и птичьим пером, и они упали на грунт в один и тот же миг.

Третий закон. Тела действуют друг на друга с равными силами в противоположные стороны. Ты толкаешь стену – стена толкает тебя. На катке оттолкнись от бортика – и сам поедешь назад. Космонавт в невесомости отталкивает от себя ящик – и сам плывёт в другую сторону.

Кто при таком толчке получит большую скорость? Силы равны, действуют одинаковое время, а ускорение $a = F / m$ больше у того, у кого масса меньше. Выходит, скорости обратно пропорциональны массам: во сколько раз масса больше, во столько раз скорость меньше. Это удобно записать так: $m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2$. Космонавт массой 100 кг (со скафандром) толкнул ящик массой 20 кг, и ящик поплыл со скоростью 1 м/с. Масса космонавта в 5 раз больше – его скорость в 5 раз меньше: $20 \cdot 1 / 100 = 0{,}2$ м/с.

Реактивное движение – это третий закон в работе. Ракета с огромной силой выбрасывает назад горячий газ, который получается при сгорании топлива. Раз ракета толкает газ назад, газ толкает ракету вперёд. Опираться на воздух или на землю не нужно, поэтому ракета разгоняется и в пустоте космоса. Так же летит надутый воздушный шарик, если отпустить его, не завязав.

Сопротивление воздуха – сила, с которой воздух мешает движению. Она всегда направлена против скорости и растёт, когда тело движется быстрее и когда оно больше «в ширину». Поэтому лист бумаги падает медленно, а скомканный в шарик – быстро. Снежинка кружит и опускается еле-еле, а сосулька с крыши летит вниз камнем (весной под крышами не ходи). На Луне воздуха нет, и сопротивления нет: там перо падает как молоток.

2.4. Невесомость – это свободное падение

Бутылка и вода падают вместе: вода не давит на дно и не выливается. Вот она, невесомость, – прямо у тебя в руках.

Невесомость – состояние, когда тело не давит на опору, то есть его вес равен нулю. Так бывает, когда на тело действует только сила тяжести и тело свободно падает – вместе со всем, что вокруг.

Проверь сам – на улице или над ванной. Попроси взрослого проколоть шилом дырку у дна пластиковой бутылки и налей воды: из дырки бьёт струйка. Теперь подбрось бутылку. Пока она летит, струйка пропадает: вода и бутылка падают вместе, и воде незачем выдавливаться в дырку. Поймал – потекло снова. Кусочек невесомости ты знаешь и по батуту: пока летишь, «замирает живот».

Представь лифт, у которого оборвался трос (в настоящих лифтах от этого есть ловители, так что это мысленный опыт). Лифт, ты и весы под твоими ногами падаете с одинаковым ускорением $g$. Весы «убегают» из-под ног с той же скоростью, с какой ты падаешь на них, – давить не получается, весы показывают ноль. Выпущенное из руки яблоко висит рядом с тобой: оно тоже падает, и так же быстро. Сила тяжести никуда не делась – пропал только вес.

Почему на МКС невесомость

Многие думают, что на МКС «нет силы тяжести». Ещё как есть! Сила тяжести слабеет с расстоянием от центра Земли: если расстояние стало в 2 раза больше – сила в $2 \cdot 2 = 4$ раза меньше, в 3 раза больше – в $3 \cdot 3 = 9$ раз меньше. МКС летает на высоте около 400–420 км, а радиус Земли 6371 км. До центра Земли там всего на 6–7 % дальше, чем у поверхности, и сила тяжести составляет около 88–89 % земной – почти 90 %.

Почему же космонавты плавают? Потому что станция вместе с ними всё время падает на Землю – но никак не может упасть. Ещё Ньютон придумал такой мысленный опыт. Поставим на очень высокой горе пушку (выше воздуха, чтобы он не мешал) и выстрелим горизонтально. Ядро полетит по дуге и упадёт. Выстрелим быстрее – упадёт дальше. Но Земля круглая, её поверхность «загибается» вниз. При скорости около 7,9 км/с ядро за каждую секунду опускается ровно настолько, насколько под ним уходит вниз поверхность Земли. Ядро падает, падает – и облетает Землю по кругу. Это и есть орбита. Скорость, нужная для такого полёта у самой поверхности, называется первой космической скоростью (как её считать – в главе 4).

МКС летит со скоростью около 7,66 км/с – это её «выстрел вбок». Станция, космонавты, ложки и капли воды в ней падают одинаково, как ты и весы в лифте. Поэтому всё внутри плавает. На МКС невесомость почти полная, но не идеальная: там тоже есть очень разреженный воздух, он чуть-чуть тормозит станцию.

Невесомость на Земле: параболический полёт

Невесомость можно устроить и на Земле – ненадолго. Космонавтов тренируют в самолёте-лаборатории (в России это Ил-76МДК), который летает «горками». Самолёт разгоняется, круто задирает нос и идёт вверх – в это время людей вжимает в пол с перегрузкой до 2 (что это такое – в разделе 2.5). Потом пилоты уменьшают тягу двигателей так, чтобы она только компенсировала сопротивление воздуха. Самолёт летит так, как летел бы брошенный камень: сначала вверх, потом вниз, по кривой, которая называется параболой. Все внутри падают вместе с самолётом – невесомость. На Ил-76МДК она длится около 25 секунд. Затем самолёт выходит из снижения (снова перегрузка до 2), и всё повторяется. За полёт бывает много таких горок.

Время невесомости можно посчитать. Пока самолёт летит по параболе, его вертикальная скорость (вверх-вниз) меняется на 9,8 м/с за секунду, как у камня. Если самолёт вошёл в параболу, поднимаясь со скоростью 100 м/с, то через $100 / 9{,}8 \approx 10{,}2$ с он окажется на вершине горки (вертикальная скорость 0), а ещё через 10,2 с будет лететь вниз со скоростью 100 м/с. Невесомость – примерно 20,4 с. Горизонтальная скорость на это время не влияет: сила тяжести тянет только вниз и меняет только вертикальную скорость.

Когда невесомость неполная: сопротивление воздуха

В самолёте двигатели «съедают» сопротивление воздуха. А если двигателя нет? Представь большой прозрачный шар с человеком внутри, который летит в воздухе по дуге. На шар действуют сила тяжести и сопротивление воздуха – оно тормозит шар, направлено против его скорости. На человека внутри действует только сила тяжести: воздух внутри шара летит вместе с ним, никакого «встречного ветра» человек не чувствует. Значит, шар тормозит чуть сильнее, чем человек. Человек по инерции немного обгоняет шар и прижимается к передней по ходу движения стенке – как ты в автобусе, который тормозит.

На Луне воздуха нет. Шар и человек падают совершенно одинаково, и никуда никого не прижимает – невесомость полная.

Предметы в кабине, когда включают двигатель

Корабль летит по орбите, в кабине невесомость. Гелиевый воздушный шарик и яблоко висят посреди кабины: на Земле шарик рвался бы вверх, но в невесомости у него нет «верха», и он остаётся там, где его отпустили. Теперь включаем двигатель на задней стенке: газ вылетает назад, кабина начинает ускоряться вперёд. Что станет с предметами?

Яблоко (и любой незакреплённый предмет тяжелее воздуха) по инерции остаётся на месте. А кабина разгоняется вперёд, и задняя стенка «налетает» на яблоко. Изнутри кабины кажется, что яблоко полетело назад.

Воздух в кабине тоже по инерции отстаёт: задняя стенка толкает его, и он немного прижимается к ней. Сзади воздух становится чуть плотнее, давление там чуть больше, чем спереди. Гелиевый шарик гораздо легче воздуха, и воздух выталкивает его туда, где давление меньше, – вперёд, в сторону ускорения. На Земле всё устроено так же: там сила тяжести прижимает воздух к земле, давление внизу больше, и шарик всплывает вверх – против тяжести.

Если одновременно включить два одинаковых двигателя на противоположных стенках, их силы уравновесятся: кабина не ускоряется, и шарик никуда не движется.

Запомни. Спросят «почему невесомость» – отвечай «потому что всё падает вместе», а не «потому что нет тяжести»: на МКС Земля тянет почти на 90 %. Воздух тормозит корпус, а человека внутри – нет: человека прижимает к передней стенке. В разгоняющейся кабине тяжёлое отстаёт к задней стенке, а гелиевый шарик уходит вперёд, туда, куда ускоряется кабина.

2.5. Перегрузка

Перегрузка – во сколько раз сильнее обычного тебя прижимает к полу. Перегрузка 3 – будто на плечах стоят ещё двое.

Перегрузка $n$ показывает, во сколько раз вес тела сейчас больше, чем обычный вес в покое на Земле:

$$n = \frac{P}{m \cdot g}.$$

В покое $n = 1$. В невесомости $n = 0$. При $n = 3$ школьник массой 40 кг давит на кресло так, как обычно давил бы взрослый в 120 кг. Слабую перегрузку ты чувствовал сам: лифт в многоэтажке трогается вверх, и на секунду ноги «тяжелеют». Иногда перегрузку записывают как «3g» (читается «три же»).

Посчитаем перегрузку, когда ракета (или лифт) разгоняется вверх с ускорением $a$. Кресло тут трудится за двоих: держит космонавта, чтобы он не падал, – на это уходит обычная сила $m \cdot g$, и ещё разгоняет его вверх вместе с ракетой – по второму закону на это нужна добавка $m \cdot a$. Всего кресло давит на космонавта с силой $m \cdot g + m \cdot a$, и с такой же силой космонавт давит на кресло: $P = m \cdot (g + a)$.

Во сколько раз это больше обычного веса $m \cdot g$? Слагаемое $m \cdot g$ – это один обычный вес, а $m \cdot a$ – ещё $a / g$ таких весов: во столько раз $a$ больше $g$. Итого

$$n = \frac{a}{g} + 1.$$

Масса сюда не входит: перегрузка одна и та же у лёгкого и у тяжёлого. Пример: ракета разгоняется с ускорением $a = 9{,}8$ м/с², тогда $n = 9{,}8 / 9{,}8 + 1 = 2$.

Так же считают перегрузку, когда спускаемый аппарат или лифт тормозит, двигаясь вниз: при этом ускорение направлено вверх (скорость вниз уменьшается), и $n = a / g + 1$.

Если же ускорение направлено вниз (лифт начинает спускаться), опора «уходит» из-под ног, и давишь ты на неё слабее: $P = m \cdot (g - a)$ и $n = 1 - a / g$. При $a = g$ получаем $n = 0$ – свободное падение, невесомость.

2.6. Разбираем задачи

Задача 2.5 Шарик на орбитальной станции

невесомость, инерция, ускорение кабины

На орбитальной станции в центре кабины висит воздушный шарик с гелием. Воздух в кабине неподвижен. У кабины четыре одинаковых двигателя: Л на левой стенке, П на правой, В на верхней, Н на нижней; сопла всех двигателей смотрят наружу (рисунок). Сопоставь, какие двигатели включили (1–4) и куда начнёт двигаться шарик относительно кабины (А–Е).

Включали: 1) только Л; 2) Л и В одновременно; 3) Л и П одновременно; 4) только Н.

А) к правой стенке; Б) в правый нижний угол; В) к верхней стенке; Г) останется на месте; Д) к левой стенке; Е) к нижней стенке.

Дано: невесомость; гелиевый шарик в центре кабины; двигатели Л, П, В, Н, сопла наружу.
Найти: направление движения шарика для каждого случая.

Шаг 1. Куда ускоряется кабина. Двигатель выбрасывает газ из сопла наружу, а газ толкает двигатель (и кабину) в обратную сторону. Двигатель Л выбрасывает газ влево – кабина ускоряется вправо. П – влево, В (газ вверх) – вниз, Н (газ вниз) – вверх.

Шаг 2. Куда движется шарик. Воздух в кабине по инерции прижимается к стенке, которая «налетает» на него сзади, – там давление чуть больше. Гелиевый шарик легче воздуха, и его выталкивает туда, где давление меньше, – в сторону ускорения кабины.

Шаг 3. Разбираем случаи.

1. Только Л: кабина ускоряется вправо – шарик к правой стенке (А).
2. Л и В: кабину толкает вправо и вниз одновременно – шарик в правый нижний угол (Б).
3. Л и П: одинаковые силы в разные стороны уравновешиваются, кабина не ускоряется – шарик на месте (Г).
4. Только Н: кабина ускоряется вверх – шарик к верхней стенке (В).

Вспомни Землю: сила тяжести «прижимает» воздух вниз, а гелиевый шарик всплывает вверх, против неё. В кабине разгон «прижимает» воздух к задней стенке – и шарик так же уплывает от неё, вперёд.

Типичная ошибка. Шарик путают с яблоком: кажется, что он тоже «отстанет» к задней стенке. Так ведёт себя предмет тяжелее воздуха, а гелиевый шарик легче и движется наоборот – вперёд, в сторону ускорения.

Ответ: 1 – А, 2 – Б, 3 – Г, 4 – В.

По мотивам задачи отборочного этапа НТО Junior 2021/22 «Воздушный шар на орбите»

3.1. Единицы измерения и перевод

Длина та же, а кусочки мельче – значит, их больше. Поэтому к мелкой единице переходим умножением.

Число в инженерной задаче всегда идёт с единицей: 3 м, 5 л, 92 мин. Без единицы оно ничего не значит. «До дачи 40» – это 40 минут или 40 километров? Перепутаешь единицы – и ответ уедет в 10, 100 или 1000 раз, хотя всё остальное решено верно.

Большинство единиц получаются из основной с помощью приставки – кусочка слова перед названием единицы:

• кило- – тысяча: 1 км = 1000 м, 1 кг = 1000 г;
• деци- – десятая часть: 1 дм = 0,1 м;
• санти- – сотая часть: 1 см = 0,01 м;
• милли- – тысячная часть: 1 мм = 0,001 м, 1 мл = 0,001 л.

Правило перевода одно: переходишь к более мелкой единице – умножаешь, к более крупной – делишь. Проверить себя легко. В метре много миллиметров, значит, миллиметров должно получиться больше, чем метров: 0,75 м = 0,75 · 1000 = 750 мм – больше, всё в порядке. В обратную сторону: 3200 кг = 3200 : 1000 = 3,2 т.

• Длина – 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм; 1 км = 1000 м. Пример: 750 мм = 0,75 м.
• Объём – 1 м³ = 1000 л; 1 л = 1 дм³ = 1000 мл; 1 мл = 1 см³. Пример: 2,5 м³ = 2500 л.
• Масса – 1 т = 1000 кг; 1 кг = 1000 г. Пример: 5,7 т = 5700 кг.
• Время – 1 сут = 24 ч; 1 ч = 60 мин; 1 мин = 60 с; 1 сут = 86 400 с. Пример: 92 мин = 5520 с.

Откуда 1 м³ = 1000 л? Кубический метр – это куб со стороной 1 м, в такой ящик целиком влезет стиральная машина. Сторона 1 м – это 10 дм, поэтому внутри уложатся 10 · 10 · 10 = 1000 кубиков со стороной 1 дм. А каждый такой кубик – ровно 1 литр, как пакет молока. По той же причине 1 м³ = 100 · 100 · 100 = 1 000 000 см³: с объёмами «лесенка» шагает не на 10, а сразу на 1000.

Со временем будь внимателен: оно считается не десятками, а по 60 и по 24. 1,5 ч – это 1 ч 30 мин, а не 1 ч 50 мин. Урок длится 45 мин – это 0,75 ч, а вовсе не 0,45 ч. Чтобы перевести секунды в сутки, дели на 86 400 (это $24 \cdot 60 \cdot 60$).

3.2. Плотность: как связаны масса и объём

Вёдра одинаковые, а масса разная. Масса одного литра вещества – это и есть его плотность.

Налей в одно десятилитровое ведро воду, в другое – керосин. Ведро воды потянет на 10 кг, ведро керосина – только на 8 кг. Значит, литр воды – это 1 кг, а литр керосина – 0,8 кг. Масса одного литра (или одного кубического сантиметра, или одного кубического метра) вещества называется плотностью. Обозначают её греческой буквой $\rho$ («ро»).

Словами: масса равна плотности, умноженной на объём. Буквами:

$$m = \rho \cdot V,$$

где $m$ – масса, $\rho$ – плотность, $V$ – объём. Если нужен объём, массу делим на плотность: $V = m / \rho$. Если нужна плотность, массу делим на объём: $\rho = m / V$. Единицы при этом «сокращаются»: кг/л умножаем на литры – остаются килограммы; г/см³ умножаем на кубические сантиметры – остаются граммы.

Одна и та же плотность в разных единицах:

$$1 \text{ г/см}^3 = 1 \text{ кг/л} = 1000 \text{ кг/м}^3 = 1 \text{ т/м}^3.$$

Из этой строчки – самое полезное правило главы: в кг/л и в т/м³ плотность записывается одним и тем же числом. Жидкий кислород – 1,14 кг/л, значит, кубометр жидкого кислорода – это 1,14 т.

Пример 1. Какова масса 2000 л керосина? $m = 0{,}8 \cdot 2000 = 1600$ кг $= 1{,}6$ т.

Пример 2. Алюминиевый брусок 5 см × 4 см × 2 см. Объём $V = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40$ см³, масса $m = 2{,}7 \cdot 40 = 108$ г – примерно как плитка шоколада.

Плотности, которые встречаются в книге (вода, жидкий кислород, керосин, алюминий, титан, пластики), собраны в справочнике в конце книги.

3.3. Объёмы тел

Объём цилиндра – площадь одного блина, умноженная на высоту стопки.

Объём – сколько места занимает тело, а для бака – сколько в него войдёт. Баки ракет, корпуса спутников, обтекатели почти всегда собраны из четырёх простых тел: цилиндра, конуса, шара и половинки шара.

• Прямоугольный брусок: $V = a \cdot b \cdot c$ (длина · ширина · высота).
• Цилиндр: $V = \pi r^2 h$. Та самая стопка блинов: площадь круглого дна $\pi r^2$ – это один блин, умножаем его на высоту стопки.
• Конус: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Ровно треть цилиндра с тем же дном и той же высотой: три конуса воды как раз наполнят такой цилиндр.
• Шар: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Если известен диаметр, удобнее $V = \frac{\pi D^3}{6}$ – это та же формула, ведь $r = D / 2$.
• Полушар: половина шара, $V = \frac{2}{3} \pi r^3$.

Радиус $r$ – расстояние от центра до края, диаметр $D$ – от края до края через центр, $D = 2r$. В условиях обычно дают диаметр, а в формулах стоит радиус. Не забудь поделить на 2 – это ошибка номер один во всей главе.

Посчитаем для примера тела с радиусом $r = 1$ м (π – кнопкой калькулятора):

• цилиндр высотой 2 м: $V = 3{,}14159 \cdot 1^2 \cdot 2 = 6{,}28$ м³;
• конус высотой 3 м: $V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14159 \cdot 1^2 \cdot 3 = 3{,}14$ м³;
• шар ($D = 2$ м): $V = \frac{4}{3} \cdot 3{,}14159 \cdot 1^3 = 4{,}19$ м³;
• полушар: $V = \frac{2}{3} \cdot 3{,}14159 \cdot 1^3 = 2{,}09$ м³.

Если тело собрано из нескольких частей (цилиндр с конусом сверху, цилиндр с полушариями на концах), считай объём каждой части отдельно и складывай.

Обратная задача: найти диаметр шара по объёму. Это место многие перечитывают дважды – нормально. Из $V = \frac{\pi D^3}{6}$ получаем

$$D^3 = \frac{6V}{\pi}, \qquad D = \sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}.$$

Кубический корень $\sqrt[3]{x}$ – это число, которое, умноженное само на себя три раза, даёт $x$. Например, $\sqrt[3]{27} = 3$, потому что $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Как его найти:

• в инженерном калькуляторе (он есть в телефоне, если повернуть экран набок) – кнопка корня третьей степени или возведение в степень $1/3$;
• в Python – x ** (1/3);
• подбором по таблице ниже, а потом уточнить: $\sqrt[3]{19{,}1}$ – между 2,5 и 3, потому что $2{,}5^3 = 15{,}6$, а $3^3 = 27$. Пробуем: $2{,}6^3 = 17{,}6$ – мало, $2{,}7^3 = 19{,}7$ – чуть много. Значит, чуть меньше 2,7 (точнее – 2,67).

Пример. Шаровой бак объёмом 10 м³. По таблице видно: 10 м³ – между шарами диаметром 2,5 м и 3 м. Точно: $D^3 = 6 \cdot 10 / 3{,}14159 = 19{,}1$ м³, $D = \sqrt[3]{19{,}1} = 2{,}67$ м. Проверка: $3{,}14159 \cdot 2{,}67^3 / 6 = 9{,}97$ м³ – почти 10, сходится.

from math import pi

V = 10                        # объём шара, м³
D = (6 * V / pi) ** (1 / 3)   # диаметр, м
print(round(D, 2))            # 2.67
print(round(pi * D**3 / 6, 2))  # проверка: снова 10.0

Ещё две вещи сэкономят тебе время. Объём растёт как куб размера: шар вдвое большего диаметра вмещает в $2^3 = 8$ раз больше. Поэтому, если топлива нужно в 8 раз больше, бак станет шире всего в 2 раза. А эту находку сделал Архимед больше двух тысяч лет назад: шар занимает $\frac{2}{3}$ цилиндра, в который он входит впритык (высота цилиндра равна диаметру шара). Иначе говоря, такой цилиндр вмещает в 1,5 раза больше, чем шар. Пригодится в задаче 3.4.

3.4. Проценты и пропорции

Процент – одна клетка из ста. 20 % – закрашены 20 клеток из 100, как 20 % заряда на телефоне.

Процент – сотая часть. 1 % от числа – это число, делённое на 100. С процентами делают три вещи:

• находят процент от числа: 20 % от 60 л $= 60 \cdot 20 / 100 = 12$ л;
• узнают, какую долю одно число составляет от другого: 18 целых панелей из 24 – это $18 / 24 \cdot 100 = 75$ %;
• увеличивают или уменьшают на процент: увеличить 60 л на 20 % – умножить на $1 + 20/100 = 1{,}2$, получится 72 л; уменьшить на 20 % – умножить на $1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

Теперь главная ловушка. «На сколько процентов» – всегда от чего-то. Процент изменения считают от того значения, что было до изменения:

$$\text{изменение в процентах} = \frac{\text{новое} - \text{старое}}{\text{старое}} \cdot 100.$$

Пример. Масса детали выросла с 250 до 300 г: $(300 - 250) / 250 \cdot 100 = 20$ %. Потом её облегчили обратно до 250 г – это уменьшение на $(300 - 250) / 300 \cdot 100 = 16{,}7$ %, а не на 20 %: теперь сравниваем с 300. Поэтому «плюс 20 %, потом минус 20 %» к началу не возвращает: $250 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 240$ г. Магазины это хорошо знают.

Пропорции и «во сколько раз». Если одна величина в 1,8 раза больше другой, то вторая в 1,8 раза меньше первой: большую получаем умножением, меньшую – делением. Величина растёт пропорционально, если на каждую единицу прибавляется одинаково. Тогда считаем умножением: один человек выпивает 2 л воды в сутки, трое – $3 \cdot 2 = 6$ л в сутки, за 8 суток – $6 \cdot 8 = 48$ л.

3.5. Округление: когда, куда и насколько

В пять канистр влезет 60 л, и 10 л останутся на земле. Чтобы увезти всё, нужна шестая – пусть и неполная.

Калькулятор выдаёт 3,5969246… – а в ответ нужно ввести одно аккуратное число. Правил три.

1. Промежуточные числа не округляй. Держи в калькуляторе полное число или хотя бы 4–5 цифр. Округляют только ответ. Вот что бывает иначе: радиус шара 1,45 м, объём $\frac{4}{3}\pi \cdot 1{,}45^3 = 12{,}77$ м³. Округлили радиус до 1,5 м – и вышло 14,14 м³, ошибка больше 10 %. Число возводится в куб, и маленькая неточность разрастается.

2. Точность ответа – как сказано в условии. «Округли до десятых» – оставляем одну цифру после запятой и смотрим на следующую: 3,597 → 3,6; 7,2381 → 7,2. Следующая цифра 5 или больше – последнюю оставшуюся увеличиваем на 1, меньше 5 – не трогаем.

3. Куда округлять – решает смысл задачи.

• Вверх – когда нужно, чтобы хватило: воды на сутки, канистр, баллонов, батареек. Это картинка с канистрами: $70 / 12 = 5{,}83$ – берём 6. Полёт длится 7,06 суток – воду берём на 8 суток: восьмые сутки уже начались, и пить в них тоже надо.
• Вниз – когда спрашивают, сколько целых штук получится: из 5 кг алюминия пластинки по 162 г – $5000 / 162 = 30{,}86$, то есть 30 целых пластинок; тридцать первую сделать не из чего.
• До ближайшего целого с проверкой – когда ответ обязан быть целым по смыслу (число панелей, людей), а неточность пришла из приборов: 22,99 → 23. Но если вышло 6,47, это не «примерно 6» – это сигнал, что в решении ошибка.

3.6. Скорость процесса

Скорость зарядки – сколько процентов прибавляется за минуту. Здесь 20 % за 10 мин, то есть 2 % в минуту.

Скорость бывает не только у ракеты. Скорость процесса – сколько работы делается за одну минуту (час, секунду): процентов заряда в минуту, литров в минуту, деталей в час. Считают её так же, как скорость движения, только вместо пути – работа:

$$\text{скорость} = \frac{\text{работа}}{\text{время}}, \qquad \text{время} = \frac{\text{работа}}{\text{скорость}}.$$

Процесс идёт линейно, если скорость всё время одна и та же: зарядка от 0 до 10 % занимает столько же минут, сколько от 90 до 100 %. Тогда график «заряд – время» – прямая линия. Настоящий телефон, кстати, ближе к 100 % заряжается медленнее. Поэтому в задачах всегда отдельно пишут: «зарядка идёт линейно».

Пример. Аккумулятор за 15 мин зарядился с 10 до 40 %. Скорость: $(40 - 10) / 15 = 2$ % в минуту. До 100 % осталось $100 - 40 = 60$ %, на это нужно $60 / 2 = 30$ мин. Можно и без «скорости», пропорцией: 30 % – за 15 мин, значит, 60 % – вдвое дольше, 30 мин.

Ожидание. Часто два дела идут одновременно: пока инструмент заряжается, человек работает руками. Если зарядка заканчивается позже ручной работы, приходится ждать:

$$\text{ожидание} = \text{время зарядки} - \text{время ручной работы}.$$

А если зарядка закончилась раньше, ожидание – ноль, а не отрицательное число. Руки всё равно заняты, и освободиться раньше не выйдет. Так и с чайником: он вскипел, пока ты резал бутерброд, – но бутерброд от этого быстрее не нарежется.

Если условия меняются (например, на зарядку стало приходить больше энергии), скорость становится другой – её нужно посчитать заново для каждого нового отрезка.

3.7. Разбираем задачи

Задача 3.3 Какого диаметра будет ракета

плотность, объём шара, кубический корень

Проектируем топливный отсек ракеты (рисунок ниже). В нижний бак – цилиндр – заливают 50 т жидкого кислорода (окислитель – вещество, без которого горючее не горит). В верхний бак – шар – заливают керосин (горючее). Чтобы двигатель работал правильно, объём кислорода должен быть в 1,8 раза больше объёма керосина. Диаметр шара равен диаметру ракеты. Найди диаметр ракеты в метрах, округли до десятых.

Дано: $m_{\text{ок}} = 50$ т; $\rho_{\text{ок}} = 1{,}14$ кг/л; $V_{\text{ок}} = 1{,}8 \cdot V_{\text{гор}}$.
Найти: $D$ – ?

Шаг 1. Строим цепочку. Диаметр шара найдём по его объёму, а объём шара – это объём керосина. Его узнаем через объём кислорода, а тот – по массе и плотности. Выходит цепочка: масса кислорода → объём кислорода → объём керосина → диаметр.

Шаг 2. Масса в килограммах. $50$ т $= 50\,000$ кг.

Шаг 3. Объём кислорода. $V_{\text{ок}} = 50\,000 / 1{,}14 = 43\,859{,}6$ л. В кубометрах: $43\,859{,}6 / 1000 = 43{,}860$ м³.

Шаг 4. Объём керосина. Кислорода в 1,8 раза больше – значит, керосина в 1,8 раза меньше: $V_{\text{гор}} = 43{,}860 / 1{,}8 = 24{,}366$ м³.

Шаг 5. Диаметр шара. Сначала прикинем по таблице из раздела 3.3: 24,4 м³ – чуть больше, чем у шара диаметром 3,5 м (22,45 м³), и намного меньше, чем у шара 4 м (33,51 м³). Значит, диаметр – чуть больше 3,5 м. Теперь точно: $D^3 = 6V/\pi = 6 \cdot 24{,}366 / 3{,}14159 = 46{,}537$ м³, $D = \sqrt[3]{46{,}537} = 3{,}597$ м $\approx 3{,}6$ м.

Проверка. $3{,}6^3 = 46{,}66$, а у нас 46,54 – разница в сотых, округлили правильно. Кстати, керосина в баке $24{,}366 \cdot 0{,}8 = 19{,}5$ т.

А теперь сравним с настоящими ракетами: у средних ракет-носителей диаметр около 3–4 м, примерно ширина твоей комнаты. Наш ответ как раз такой.

Типичная ошибка. Подставить объём в литрах: $\sqrt[3]{6 \cdot 24\,366 / \pi} = 36$ – и получить ракету диаметром 36 «метров». Литры в формулу с метрами не подставляют. Ещё умножают на 1,8 вместо деления – тогда у керосина окажется больше объёма, чем у кислорода. А кто считал по формуле $\frac{4}{3}\pi r^3$, легко найдёт радиус 1,8 м и запишет в ответ его, а не диаметр.

Ответ: 3,6 м.

По мотивам задачи отборочного этапа НТО Junior 2021/22 «Расчёт баков ракеты. Часть 1»

Задача 3.5 Запас воды на миссию

перевод единиц времени, округление вверх, проценты

Экипаж корабля – 2 человека. Каждому нужно 2,5 л воды в сутки. Воду выдают суточными нормами: на каждые начатые сутки – полная норма. Программа полёта – не больше 110 витков вокруг Земли; длина одного витка 42 700 км, скорость корабля 7,7 км/с. Сверх нормы берут резерв – 25 % от нужного количества. Сколько литров воды взять, чтобы её точно хватило? Ответ – целое число литров.

Дано: 2 чел.; 2,5 л/сут на человека; 110 витков; $L = 42\,700$ км; $v = 7{,}7$ км/с; резерв 25 %.
Найти: сколько литров воды взять.

Шаг 1. Витки или сутки? Норма дана «в сутки», а длительность полёта – в витках. Значит, сначала переводим витки во время, время – в сутки, и только потом считаем воду.

Шаг 2. Время одного витка. Время = путь / скорость: $t_1 = 42\,700 / 7{,}7 = 5545{,}45$ с. Километры делим на км/с – получаются секунды.

Шаг 3. Время всего полёта. $t = 110 \cdot 5545{,}45 = 610\,000$ с.

Шаг 4. В сутки. В сутках 86 400 с: $610\,000 / 86\,400 = 7{,}06$ сут.

Шаг 5. Округляем вверх. Полёт идёт 7 полных суток и ещё немного – восьмые сутки начались, на них тоже нужна норма. Считаем 8 суток.

Шаг 6. Вода без резерва. В сутки экипаж выпивает $2 \cdot 2{,}5 = 5$ л. За 8 суток: $5 \cdot 8 = 40$ л.

Шаг 7. Резерв. Прибавить 25 % – умножить на 1,25: $40 \cdot 1{,}25 = 50$ л.

Проверка разумности. Выходит около 3 л на человека в день вместе с резервом – примерно столько и нужно, чтобы пить и готовить еду.

Типичная ошибка. Рука сама тянется округлить 7,06 до 7 суток «по правилам» – и выходит $5 \cdot 7 \cdot 1{,}25 = 43{,}75$ л. На восьмые сутки воды не останется: округлять запас нужно вверх. Случается и такое: секунды поделили на 3600, получили 169 и записали как сутки. Но это часы – их ещё надо поделить на 24.

Ответ: 50 л.

По мотивам пробной задачи отборочного тура НТИ Junior 2019 года «Запас воды на орбите»

Задача 3.6^* Сколько панелей разбито

проценты, целые числа, округление, проверка

Станция получает электричество от одинаковых солнечных панелей. Кусок космического мусора разбил несколько панелей, и мощность упала до 71,88 % от прежней. Космонавт заменил одну разбитую панель на новую, и мощность выросла примерно на 4,35 %. Разбитая панель не даёт ничего, каждая целая – одну и ту же мощность. Приборы показывают проценты с небольшой неточностью. Сколько всего панелей $N$ и сколько из них разбито ($K$)? В ответ введи произведение $N \cdot K$.

Дано: после удара мощность – 71,88 % от прежней; после замены одной панели – рост на 4,35 %.
Найти: $N$, $K$, $N \cdot K$.

Шаг 1. Обозначения. Мощность пропорциональна числу целых панелей. Обозначим целые панели после удара $W = N - K$. Нужно найти два целых числа, $N$ и $K$, по двум процентам.

Шаг 2. От чего считали 4,35 %? Это главный вопрос задачи. Есть два варианта: прибор сравнил новую мощность с той, что была перед заменой (от $W$ панелей), или с прежней (от $N$ панелей). Проверим оба – неверный вариант выдаст себя нецелыми числами.

Шаг 3. Вариант А: от мощности перед заменой. До замены работали $W$ панелей, после – $W + 1$. Одна панель – это $1/W$ часть от мощности $W$ панелей. Прикинем на простых числах: было бы 10 целых панелей – одна новая добавила бы 10 %, было бы 20 – добавила бы 5 %. Значит, $\frac{1}{W} \cdot 100 = 4{,}35$, откуда $W = 100 / 4{,}35 = 22{,}99$. Панели целые: $W = 23$.

Шаг 4. Всего панелей. 23 целые панели дают 71,88 % от мощности всех $N$ панелей: $W / N = 0{,}7188$, откуда $N = 23 / 0{,}7188 = 32{,}00$. Значит, $N = 32$, разбито $K = 32 - 23 = 9$.

Шаг 5. Проверка варианта А. $23 / 32 \cdot 100 = 71{,}875 \approx 71{,}88$ % – совпало. После замены $24 / 23 = 1{,}0435$, то есть рост на 4,35 %, – тоже. И оба числа вышли почти целыми (22,99 и 32,00).

Шаг 6. Вариант Б: от прежней мощности. Тогда одна панель – это $1/N$ от прежней: $N = 100 / 4{,}35 = 22{,}99 \approx 23$. Разбито $K = 23 \cdot (1 - 0{,}7188) = 23 \cdot 0{,}2812 = 6{,}47$. Это далеко от целого – ни 6, ни 7 не подходят (проверь: $17/23 = 73{,}9$ %, $16/23 = 69{,}6$ %, а не 71,88 %). Вариант Б отпадает.

Шаг 7. Ответ. $N \cdot K = 32 \cdot 9 = 288$.

Типичная ошибка. Самая частая – не задуматься, от чего считаются 4,35 %, и сразу сказать «одна панель – 4,35 % от всех», как в варианте Б. Получаются нецелые панели, и хочется «подогнать» 6,47 до 6. Нецелое число – это не повод округлять, а сигнал, что решение неверно. А если округлить 4,35 до 4, выйдет $W = 25$, и дальше всё рассыплется.

Ответ: 288 ($N = 32$, $K = 9$).

По мотивам задачи отборочного этапа НТО Junior 2021/22 «Чиним солнечные панели (часть 1 – оценка повреждений)»

Задача 3.7^* Паяльник, который надо ждать

скорость процесса, линейная зарядка, ожидание

Космонавт выходит в открытый космос заменить 5 разбитых солнечных панелей. На каждую панель нужно 30 мин монтажа, а затем 10 мин работы паяльником. Паяльник работает от своего накопителя: полного заряда хватает ровно на одну панель, и после пайки он пуст. Хранится паяльник разряженным.

Подлетев к панели, космонавт сразу ставит паяльник заряжаться от сети станции и начинает монтаж. Зарядка идёт линейно. Станция тратит на свои системы всё время одну и ту же мощность, а на зарядку идёт то, что остаётся. После монтажа первой панели паяльник заряжен на 50 %, и космонавт ждёт полной зарядки. После пайки он подключает панель к сети, перелетает к следующей (перелёт короткий – не учитывай) и снова ставит паяльник заряжаться. К концу монтажа второй панели заряд – 75 %. Сколько минут займёт замена всех 5 панелей?

Дано: монтаж 30 мин, пайка 10 мин; заряд к концу монтажа: 1-я панель – 50 %, 2-я – 75 %; всего 5 панелей.
Найти: общее время, мин.

Шаг 1. Панель 1. За 30 мин монтажа паяльник набрал 50 %. Зарядка линейная, значит, 100 % – вдвое больше – наберётся вдвое дольше: $30 \cdot 2 = 60$ мин. Монтаж закончен на 30-й минуте – ждём $60 - 30 = 30$ мин. Потом 10 мин пайки. Итого $30 + 30 + 10 = 70$ мин.

Шаг 2. Панель 2. За 30 мин – 75 %. До полного заряда: $100 / 75 \cdot 30 = 40$ мин. Ждём $40 - 30 = 10$ мин. Итого $30 + 10 + 10 = 50$ мин.

Шаг 3. Почему вторая зарядка быстрее. Первую панель уже подключили к сети. Станция тратит на свои системы столько же, сколько раньше, значит, вся мощность новой панели идёт на зарядку. Одна панель добавила $75 - 50 = 25$ % за 30 мин. Каждая следующая починенная панель добавит столько же.

Шаг 4. Панель 3. За 30 мин: $75 + 25 = 100$ % – паяльник заряжен как раз к концу монтажа. Ждать не нужно: $30 + 0 + 10 = 40$ мин.

Шаг 5. Панели 4 и 5. Зарядка ещё быстрее: за 30 мин набралось бы 125 % и 150 %, то есть полный заряд – за $100 / 125 \cdot 30 = 24$ и $100 / 150 \cdot 30 = 20$ мин. Паяльник готов раньше, чем закончен монтаж, но монтаж всё равно длится 30 мин. Ожидание ноль, каждая панель – 40 мин.

Шаг 6. Всего. $70 + 50 + 40 + 40 + 40 = 240$ мин (4 ч).

Проверка кодом. Пять похожих шагов – как раз работа для цикла:

montazh, payka = 30, 10
zaryad_1, zaryad_2 = 50, 75          # % к концу монтажа 1-й и 2-й панели
pribavka = zaryad_2 - zaryad_1       # на сколько % больше даёт каждая новая панель
vsego = 0
for i in range(5):
    za_montazh = zaryad_1 + i * pribavka          # % за 30 мин у (i+1)-й панели
    polnyi = 100 / za_montazh * montazh           # минут до 100 %
    ozhidanie = max(0, polnyi - montazh)
    vsego += montazh + ozhidanie + payka
print(vsego)   # 240.0

Без ожидания 5 панелей заняли бы $5 \cdot 40 = 200$ мин, а ждать пришлось всего 40 мин (30 на первой панели и 10 на второй) – остальное время космонавт работал руками.

Типичная ошибка. Считать, что все панели как первая: $5 \cdot 70 = 350$ мин, или что все следующие как вторая: $70 + 4 \cdot 50 = 270$ мин. Другая ловушка – «отрицательное ожидание»: на 4-й панели паяльник зарядился за 24 мин, и кажется, что сэкономлено 6 мин. Нет: монтаж руками всё равно длится 30 мин.

Ответ: 240 мин.

По мотивам задачи отборочного этапа НТО Junior 2021/22 «Чиним солнечные панели (часть 2 – Космический Суперпаяльник)»

4.1. Что такое орбита и почему спутник не падает

Раскрути мяч на верёвке: верёвка тянет его к руке, а он летит по кругу. Спутник держит на круге притяжение Земли.

Орбита – путь, по которому одно тело летит вокруг другого: Луна – вокруг Земли, Земля – вокруг Солнца, спутник – вокруг Земли. Бывают орбиты вытянутые (эллипс, как у комет из главы 1) и круглые. В этой главе почти все орбиты круговые: спутник летит по окружности, центр которой – центр Земли.

Почему спутник не падает? Он падает – всё время. Но летит так быстро вбок, что каждый раз «промахивается» мимо Земли (помнишь пушку Ньютона из главы 2?). Скорость спутника направлена по касательной к орбите – под прямым углом к направлению на центр Земли. Притяжение тянет спутник к центру и загибает его путь в окружность, как верёвка загибает путь мяча. Исчезни притяжение – спутник улетел бы по прямой.

На рисунке два расстояния, и их путают чаще всего:

• высота орбиты $h$ – от поверхности Земли до спутника (её называют в новостях: «МКС летает на высоте 420 км»);
• радиус орбиты $R + h$ – от центра Земли до спутника. Радиус Земли $R = 6371$ км.

Пример. МКС на высоте 420 км: радиус орбиты $6371 + 420 = 6791$ км.

Круговая скорость – скорость, с которой нужно лететь, чтобы орбита получилась кругом. У самой поверхности Земли (если бы не мешал воздух) это первая космическая скорость – около 7,9 км/с, почти 8 километров за одну секунду. Обское море в длину около 200 км – с такой скоростью его можно пролететь меньше чем за полминуты. Чем выше орбита, тем слабее притяжение и тем меньше нужная скорость: МКС летит примерно 7,66 км/с, спутники ГЛОНАСС – около 3,95 км/с, геостационарные – около 3,07 км/с. На отборе скорость обычно дают в условии.

4.2. Период и число витков

Время одного круга – это длина круга, делённая на скорость. Для стадиона и для орбиты правило одно.

Виток – один полный облёт Земли. Период $T$ – сколько времени длится один виток.

За виток спутник проходит длину окружности радиуса $R + h$, то есть $2\pi(R + h)$ (справочник). Время – это путь, делённый на скорость (глава 2). Словами: период равен длине витка, делённой на скорость. Буквами:

$$T = \frac{2\pi (R + h)}{v},$$

где $T$ – период, $R + h$ – радиус орбиты, $v$ – скорость спутника. Радиус в километрах, скорость в км/с – период выйдет в секундах. Чтобы перевести в минуты, делим на 60, в часы – на 3600.

Пример. МКС: $h = 420$ км, $v = 7{,}66$ км/с.

1. Радиус орбиты: $R + h = 6371 + 420 = 6791$ км.
2. Длина витка: $2\pi \cdot 6791 = 42\,669$ км.
3. Период: $T = 42\,669 / 7{,}66 = 5570$ с.
4. В минутах: $5570 / 60 = 92{,}8$ мин – примерно полтора часа.

Сколько витков в сутки. В сутках $24 \cdot 60 = 1440$ минут. Число витков $N = 1440 / T$, где $T$ – в минутах. Для МКС $1440 / 92{,}8 = 15{,}5$: станция облетает Землю пятнадцать с половиной раз в сутки, и космонавты видят 15–16 восходов Солнца. Пока ты ночью спишь восемь часов, МКС успевает обогнуть Землю больше пяти раз.

Земля под орбитой поворачивается

Пока спутник делает виток, Земля под ним вращается с запада на восток: полный оборот за сутки, то есть $360° / 24 = 15°$ в час (точнее, оборот – за 23 ч 56 мин, но для задач хватает 15° в час). А плоскость орбиты в пространстве почти не поворачивается. Поэтому каждый следующий виток проходит над Землёй западнее предыдущего. МКС за один виток (92,8 мин = 1,547 ч) «отстаёт» на $1{,}547 \cdot 15 \approx 23°$ долготы. Линию на карте, над которой пролетает спутник, называют трассой. На рисунке ниже видно и сдвиг витков, и ещё кое-что: трасса МКС не заходит севернее 51,6° широты. Почему – в разделе 4.4.

4.3. Какие бывают высоты орбит и зачем

Уменьши Землю до глобуса диаметром 32 см. МКС полетит в сантиметре над ним, ГЛОНАСС – в полуметре, а геостационарный спутник – почти в метре.

Зачем каждая такая:

• МКС – близко к Земле: проще возить экипажи и грузы.
• Спутники ДЗЗ (съёмка Земли) – чем ближе, тем подробнее снимки.
• ГЛОНАСС – с высоты виден большой кусок Земли; 24 спутника в трёх плоскостях покрывают всю планету.
• Геостационарные – спутник «висит» над одной точкой: телевидение, связь, погода.

Слишком низко летать нельзя: даже на высоте 400 км есть очень разреженный воздух. Он понемногу тормозит станцию, и МКС время от времени поднимают двигателями.

ГЛОНАСС – российская навигационная система. Приёмник в телефоне или в навигаторе школьного автобуса ловит сигналы сразу нескольких спутников и по ним вычисляет, где он находится. Орбиты ГЛОНАСС наклонены к экватору на 64,8° (что такое наклонение – в разделе 4.4), поэтому система хорошо работает и на севере России.

Геостационарная орбита

Если спутник на высоте 35 786 км летит над экватором с запада на восток, он делает один оборот за 23 ч 56 мин – ровно за столько же, за сколько Земля поворачивается вокруг своей оси. (А 24 часа – это сутки по Солнцу, они чуть длиннее, потому что Земля ещё и движется вокруг Солнца.) Земля и спутник поворачиваются «в ногу», и с Земли спутник кажется неподвижным. Такую орбиту называют геостационарной (ГСО).

Почему только над экватором. Земля тянет спутник к своему центру. Поэтому центр любой орбиты – центр Земли, и плоскость любой орбиты проходит через центр Земли. Круг, который шёл бы точно над Новосибирском (над широтой 55°), имел бы центр на оси Земли, высоко над её центром, – так летать нельзя. А если плоскость орбиты проходит через центр, но наклонена к экватору, спутник каждые сутки будет уходить то на север, то на юг и над одной точкой висеть не будет. Остаётся одно: плоскость орбиты совпадает с экватором.

Почему тарелку не надо поворачивать. Спутник для нас стоит на месте, поэтому антенну наводят один раз. Выгляни в окно на соседний дом: все тарелки на балконах смотрят в одну сторону. Из России геостационарные спутники видны в южной половине неба, поэтому тарелки повёрнуты на юг, юго-восток или юго-запад. Из Новосибирска спутник, стоящий над экватором на той же долготе, виден точно на юге, примерно на 27° над горизонтом. Чем севернее город, тем ниже спутник, а севернее примерно 81° широты его не видно совсем. Для Крайнего Севера используют другие орбиты – например, сильно вытянутые орбиты «Молния».

Зона покрытия. Антенна спутника светит радиоволнами не на всю видимую половину Земли одинаково, а лучом, который направляют на нужную страну или область, – как фонарик на кусок стены. В середине пятна сигнал самый сильный, там хватает маленькой тарелки. К краю пятна сигнал слабеет и нужна тарелка побольше, а за краем приёма нет. Поэтому у одного и того же спутника в одной области приём отличный, а в соседней – хуже.

Запомни. «Висеть» над одной точкой спутник может только над экватором, на высоте 35 786 км. Тарелку на такой спутник наводят один раз, из Новосибирска – на юг. Где приём лучше, решает луч антенны спутника, а не то, над кем он «ближе».

4.4. Широта, долгота и наклонение

Широта – на сколько градусов вверх от экватора, долгота – на сколько вбок от Гринвича. Два числа – и точка найдена.

Чтобы сказать, над каким местом летит спутник, нужны координаты.

Широта $\varphi$ («фи») – угол между направлением из центра Земли на точку и плоскостью экватора. На экваторе широта 0°, на полюсах – 90°. Севернее экватора пишут «с. ш.» (северная широта), южнее – «ю. ш.». Все точки с одной широтой лежат на окружности – параллели.

Долгота $\lambda$ («лямбда») – угол, на который нужно повернуться вокруг оси Земли от нулевого меридиана до меридиана точки. Меридиан – линия от полюса до полюса; нулевой проходит через Гринвич (район Лондона). К востоку от него долготы «в. д.» (до 180°), к западу – «з. д.».

Координаты некоторых городов (по Википедии):

Наклонение орбиты

Наклони обруч на 50° – и трасса спутника будет доходить до 50° с. ш. и 50° ю. ш., но не дальше.

Плоскость орбиты всегда проходит через центр Земли, но может быть повёрнута относительно экватора. Наклонение $i$ – угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора.

• $i = 0°$ – экваториальная орбита: спутник летит только над экватором (так летают геостационарные).
• $i = 51{,}6°$ – МКС. Её трасса «качается» между 51,6° с. ш. и 51,6° ю. ш.
• $i$ около 90° – полярная орбита: спутник пролетает над полюсами, а Земля поворачивается под ним, так что за несколько суток он проходит над всеми точками планеты.
• Солнечно-синхронная орбита – почти полярная (наклонение немного больше 90°, спутник летит чуть-чуть навстречу вращению Земли). Её подбирают так, чтобы спутник проходил над каждым местом в одно и то же местное время, например всегда около 10 утра. Для съёмки Земли это удобно: освещение на снимках одинаковое.

Отсюда правило: спутник с наклонением $i$ (от 0° до 90°) пролетает только над широтами от $i$ ю. ш. до $i$ с. ш. Самая северная точка его трассы – на широте ровно $i$. Если наклонение больше 90°, граница – $180° - i$.

Поэтому МКС ($i = 51{,}6°$) никогда не проходит прямо над Москвой (55,75°) и Новосибирском (55,02°). Увидеть её отсюда можно: летним вечером над Новосибирском она выглядит как яркая звёздочка, которая за несколько минут проползает по небу. Но проползает сбоку, а не в зените («прямо над головой»).

Ещё одно следствие. Ракета, которая стартует с космодрома на широте $\varphi$, без дорогих манёвров выводит спутник на наклонение не меньше $\varphi$ – ведь космодром должен лежать на трассе. Для геостационара нужно наклонение 0°, поэтому такие запуски выгоднее с космодромов ближе к экватору (там ещё и вращение Земли сильнее подталкивает ракету).

Запомни. $1° = 60′$, поэтому 55°01′ = 55,02°. Широта отсчитывается от экватора, долгота – от Гринвича. Трасса спутника с наклонением $i$ не заходит дальше $i$ с. ш. и $i$ ю. ш.: у МКС граница – 51,6°, а Новосибирск на 55°.

4.5. Пролетая над двумя городами: центральный угол

45° – восьмая часть круга. Пролетел восьмую часть витка – потратил восьмую часть периода.

Задача, которая встречается на отборе: спутник на низкой круговой орбите на одном витке пролетел прямо над одним городом, а потом – над другим. Что-то известно (время между пролётами или период), что-то нужно найти.

Вращением Земли в таких задачах пренебрегают: за несколько минут пролёта она успевает повернуться лишь на 1–2°. Тогда оба города лежат под орбитой, а плоскость орбиты проходит через три точки: центр Земли и два города.

Центральный угол $\theta$ («тэта») – угол между двумя радиусами Земли, проведёнными из центра к двум городам. Весь виток – это 360°, поэтому путь от одного города до другого – доля витка $\theta / 360°$. Спутник летит равномерно, значит, и время – та же доля периода:

$$\frac{t}{T} = \frac{\theta}{360°}, \qquad t = T \cdot \frac{\theta}{360°}, \qquad T = t \cdot \frac{360°}{\theta}.$$

Самое трудное – найти $\theta$. Разность долгот для этого не годится: она отсчитывается вокруг оси Земли, а нам нужен угол из центра. Поэтому угол строят в «Компас-3D». Дальше читай с открытым «Компасом» и сразу повторяй каждый шаг – в голове эту конструкцию не удержать.

4.6. Тень Земли

За Землёй тянется тень, как за столбом под фонарём. На каждом витке спутник пролетает сквозь неё, и солнечные батареи на это время перестают давать ток.

Солнце освещает Землю с одной стороны, и за ней остаётся тень. Солнце очень далеко, его лучи почти параллельны, поэтому тень похожа на длинный цилиндр толщиной с Землю. Спутник на низкой орбите на каждом витке ныряет в эту тень и выныривает из неё. В тени солнечные батареи не дают тока, и всё питание идёт от аккумулятора (про энергию – глава 8). Поэтому конструкторам важно знать, сколько минут длится тень. Расчёт того, когда спутник на свету, а когда в тени, называют светотеневой обстановкой.

Простое правило из учебных задач. Часто пишут: «спутник половину витка летит в тени». Тогда время в тени – $T / 2$. Это грубо, но с запасом: настоящая тень короче, так что аккумулятора, рассчитанного на полвитка, точно хватит. Если в условии сказано «половину витка» – считай по условию.

Как на самом деле. Возьмём самый «тёмный» случай: Солнце лежит в плоскости орбиты. Посмотрим на орбиту сверху. Тень – полоса шириной $2R$ за Землёй. Спутник входит в неё и выходит там, где круг орбиты пересекает край полосы. Угол $\alpha$ – между линией «центр Земли – от Солнца» и радиусом к точке выхода. В тени спутник проходит дугу $2\alpha$, а время в тени – та же доля периода:

$$t_{\text{тень}} = T \cdot \frac{2\alpha}{360°}.$$

Как найти $\alpha$ – построением. Эскиз в «Компас-3D», 1 мм = 1 км:

1. Окружность радиусом 6371 мм с центром в начале координат – Земля.
2. Окружность радиусом $R + h$ с тем же центром – орбита (для МКС $6371 + 420 = 6791$ мм).
3. Горизонтальный отрезок из центра вправо – линия «от Солнца» (свет идёт слева направо).
4. Горизонтальная вспомогательная прямая на 6371 мм выше центра – край тени.
5. Отрезок из центра в точку, где край тени пересекает орбиту справа. «Угловой размер» между этим отрезком и горизонтальным покажет $\alpha$.

Для МКС получается $\alpha \approx 69{,}7°$. В тени – дуга $2 \cdot 69{,}7 = 139{,}5°$ из 360°, то есть $92{,}8 \cdot 139{,}5 / 360 \approx 36$ минут из 93. Меньше половины витка – правило «половина» и правда с запасом.

Для низких орбит всё уже посчитано. Умножь период на долю из таблицы – получишь минуты в тени (Солнце в плоскости орбиты):

Чем выше орбита, тем меньше доля: издалека Земля кажется меньше и заслоняет Солнце на более короткой дуге.

Если Солнце светит под углом к плоскости орбиты, тень ещё короче, а бывают орбиты, где спутник месяцами летит вообще без тени. У геостационарных спутников тень бывает только в недели около весеннего и осеннего равноденствия, не дольше примерно 70 минут в сутки – в остальное время Земля «не заслоняет» им Солнце.

4.7. Разбираем задачи